MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsupss 11724
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9961.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4618 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦𝑥𝑚𝑥))
21cbvralv 3159 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑥)
3 breq2 4619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑚𝑥𝑚𝑛))
43ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑚𝐴 𝑚𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
52, 4syl5bb 272 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
65cbvrexv 3160 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
7 simp1rl 1124 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
87znegcld 11431 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
9 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
109zred 11429 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
117zred 11429 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
12 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
13 simp1rr 1125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
14 breq1 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = -𝑤 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑤𝑛))
1514rspcv 3291 . . . . . . . . . . 11 (-𝑤𝐴 → (∀𝑚𝐴 𝑚𝑛 → -𝑤𝑛))
1612, 13, 15sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝑛)
1710, 11, 16lenegcon1d 10556 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛𝑤)
18 eluz2 11640 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑛𝑤))
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1244 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛))
2019rabssdv 3663 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
21 n0 3909 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛𝐴)
22 ssel2 3579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
2322znegcld 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
2422zcnd 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℂ)
2524negnegd 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → --𝑛 = 𝑛)
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
2725, 26eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → --𝑛𝐴)
28 negeq 10220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = -𝑛 → -𝑤 = --𝑛)
2928eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = -𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑛𝐴))
3029rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ --𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3123, 27, 30syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3231ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴))
3332exlimdv 1858 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑛 𝑛𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴))
3433imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3521, 34sylan2b 492 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
37 rabn0 3934 . . . . . . . 8 ({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3836, 37sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅)
39 infssuzcl 11719 . . . . . . 7 (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
4020, 38, 39syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
41 negeq 10220 . . . . . . . . 9 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → -𝑛 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
4241eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (-𝑛𝐴 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
43 negeq 10220 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑛 → -𝑤 = -𝑛)
4443eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
4544cbvrabv 3185 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ -𝑛𝐴}
4642, 45elrab2 3349 . . . . . . 7 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ↔ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
4746simprbi 480 . . . . . 6 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
4840, 47syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
49 ssrab2 3668 . . . . . . . . . 10 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℤ
5040adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
5149, 50sseldi 3582 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5251zred 11429 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
53 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
5453sselda 3584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℤ)
5554zred 11429 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
5620adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
5754znegcld 11431 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ ℤ)
5854zcnd 11430 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
5958negnegd 10330 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
60 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6159, 60eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦𝐴)
62 negeq 10220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → -𝑤 = --𝑦)
6362eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
6463elrab 3347 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ --𝑦𝐴))
6557, 61, 64sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
66 infssuzle 11718 . . . . . . . . 9 (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
6756, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
6852, 55, 67lenegcon2d 10557 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
6951znegcld 11431 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
7069zred 11429 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7155, 70lenltd 10130 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
7268, 71mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
7372ralrimiva 2960 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
74 breq2 4619 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
7574rspcev 3295 . . . . . . . 8 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
7675ex 450 . . . . . . 7 (-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
7748, 76syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
7877ralrimivw 2961 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
79 breq1 4618 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
8079notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
8180ralbidv 2980 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
82 breq2 4619 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
8382imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8483ralbidv 2980 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8581, 84anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
8685rspcev 3295 . . . . 5 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8748, 73, 78, 86syl12anc 1321 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8887rexlimdvaa 3025 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
896, 88syl5bi 232 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
90893impia 1258 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3556  c0 3893   class class class wbr 4615  cfv 5849  infcinf 8294  cr 9882   < clt 10021  cle 10022  -cneg 10214  cz 11324  cuz 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635
This theorem is referenced by:  suprzcl2  11725  suprzub  11726  uzsupss  11727
  Copyright terms: Public domain W3C validator