MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zzngim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zzngim 20629
Description: The ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zzngim.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zzngim 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim
StepHypRef Expression
1 0nn0 11901 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 zzngim.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
32zncrng 20621 . . . 4 (0 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
4 crngring 19239 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 𝑌 ∈ Ring
6 zzngim.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
76zrhrhm 20589 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8 rhmghm 19408 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
95, 7, 8mp2b 10 . 2 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
112, 10, 6znzrhfo 20624 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
121, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13 fofn 6586 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14 fnresdm 6460 . . . . . 6 (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . 5 (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
166reseq1i 5843 . . . . 5 (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
1715, 16eqtr3i 2846 . . . 4 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18 eqid 2821 . . . . . 6 0 = 0
1918iftruei 4472 . . . . 5 if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
2019eqcomi 2830 . . . 4 ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
212, 10, 17, 20znf1o 20628 . . 3 (0 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
221, 21ax-mp 5 . 2 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23 zringbas 20553 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
2423, 10isgim 18342 . 2 (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
259, 22, 24mpbir2an 707 1 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  ifcif 4465  cres 5551   Fn wfn 6344  ontowfo 6347  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7145  0cc0 10526  0cn0 11886  cz 11970  ..^cfzo 13023  Basecbs 16473   GrpHom cghm 18295   GrpIso cgim 18337  Ringcrg 19228  CRingccrg 19229   RingHom crh 19395  ringzring 20547  ℤRHomczrh 20577  ℤ/nczn 20580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-dvds 15598  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-0g 16705  df-imas 16771  df-qus 16772  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-nsg 18217  df-eqg 18218  df-ghm 18296  df-gim 18339  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-cring 19231  df-oppr 19304  df-dvdsr 19322  df-rnghom 19398  df-subrg 19464  df-lmod 19567  df-lss 19635  df-lsp 19675  df-sra 19875  df-rgmod 19876  df-lidl 19877  df-rsp 19878  df-2idl 19935  df-cnfld 20476  df-zring 20548  df-zrh 20581  df-zn 20584
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator