Theorem addcexg 4393

Description: The cardinal sum of two sets is a set. (Contributed by SF, 15-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addcexg	|- ((A e. V /\ B e. W) -> (A +o B) e. _V)

Proof of Theorem addcexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfaddc2 4381	. 2 |- (A +o B) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B)"kA)
2		pw1exg 4302	. . . . 5 |- (B e. W -> ~P1 B e. _V)
3		pw1exg 4302	. . . . 5 |- (~P1 B e. _V -> ~P1 ~P1 B e. _V)
4		addcexlem 4382	. . . . . 6 |- ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V
5		imakexg 4299	. . . . . 6 |- ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V /\ ~P1 ~P1 B e. _V) -> (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B) e. _V)
6	4, 5	mpan 651	. . . . 5 |- (~P1 ~P1 B e. _V -> (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B) e. _V)
7	2, 3, 6	3syl 18	. . . 4 |- (B e. W -> (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B) e. _V)
8		imakexg 4299	. . . 4 |- (((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B) e. _V /\ A e. V) -> ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B)"kA) e. _V)
9	7, 8	sylan 457	. . 3 |- ((B e. W /\ A e. V) -> ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B)"kA) e. _V)
10	9	ancoms 439	. 2 |- ((A e. V /\ B e. W) -> ((( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 B)"kA) e. _V)
11	1, 10	syl5eqel 2437	1 |- ((A e. V /\ B e. W) -> (A +o B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   e. wcel 1710  _Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   \ cdif 3206   u. cun 3207   i^i cin 3208   (+) csymdif 3209  1_cc1c 4134  ~P₁ cpw1 4135   Ins2_k cins2k 4176   Ins3_k cins3k 4177  "_kcimak 4179   SI_k csik 4181   S_k cssetk 4183   +o cplc 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-addc 4378

This theorem is referenced by:  addcex  4394  lefinaddc  4450  leltfintr  4458  ltfinp1  4462  sucevenodd  4510  sucoddeven  4511  addlec  6208  fnfreclem3  6319