Theorem addcexlem 4382

Description: The expression at the heart of dfaddc2 4381 is a set. (Contributed by SF, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addcexlem	|- ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Proof of Theorem addcexlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssetkex 4294	. . . . . . 7 |- Sk e. _V
2	1	ins3kex 4308	. . . . . 6 |- Ins3k Sk e. _V
3	1	ins2kex 4307	. . . . . 6 |- Ins2k Sk e. _V
4	2, 3	inex 4105	. . . . 5 |- ( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk ) e. _V
5		1cex 4142	. . . . . . 7 |- 1c e. _V
6	5	pw1ex 4303	. . . . . 6 |- ~P1 1c e. _V
7	6	pw1ex 4303	. . . . 5 |- ~P1 ~P1 1c e. _V
8	4, 7	imakex 4300	. . . 4 |- (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
9	8	complex 4104	. . 3 |- ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
10	9	ins3kex 4308	. 2 |- Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) e. _V
11	3	ins2kex 4307	. . . 4 |- Ins2k Ins2k Sk e. _V
12	2	ins2kex 4307	. . . . 5 |- Ins2k Ins3k Sk e. _V
13	1	sikex 4297	. . . . . . 7 |- SIk Sk e. _V
14	13	sikex 4297	. . . . . 6 |- SIk SIk Sk e. _V
15	14	ins3kex 4308	. . . . 5 |- Ins3k SIk SIk Sk e. _V
16	12, 15	unex 4106	. . . 4 |- ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ) e. _V
17	11, 16	symdifex 4108	. . 3 |- ( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk )) e. _V
18	7	pw1ex 4303	. . . 4 |- ~P1 ~P1 ~P1 1c e. _V
19	18	pw1ex 4303	. . 3 |- ~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c e. _V
20	17, 19	imakex 4300	. 2 |- (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c) e. _V
21	10, 20	difex 4107	1 |- ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c)) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1710  _Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   \ cdif 3206   u. cun 3207   i^i cin 3208   (+) csymdif 3209  1_cc1c 4134  ~P₁ cpw1 4135   Ins2_k cins2k 4176   Ins3_k cins3k 4177  "_kcimak 4179   SI_k csik 4181   S_k cssetk 4183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193

This theorem is referenced by:  addcexg  4393  nncex  4396  nnc0suc  4412  nncaddccl  4419  nnsucelrlem1  4424  preaddccan2lem1  4454  ltfinex  4464  evenodddisjlem1  4515  phiexg  4571  opexg  4587  proj1exg  4591  proj2exg  4592  phialllem1  4616  setconslem5  4735  1stex  4739  swapex  4742