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Theorem crossex 5850
Description: The function mapping and to their cross product is a set. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
crossex Cross

Proof of Theorem crossex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cross 5764 . . 3 Cross
2 rexcom 2772 . . . . 5
3 elxp2 4802 . . . . 5
4 elin 3219 . . . . . . . 8 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
5 snex 4111 . . . . . . . . . . 11
65otelins2 5791 . . . . . . . . . 10 Ins2 Ins2 S Ins2 S
7 vex 2862 . . . . . . . . . . 11
87otelins2 5791 . . . . . . . . . 10 Ins2 S S
9 vex 2862 . . . . . . . . . . 11
10 vex 2862 . . . . . . . . . . 11
119, 10opelssetsn 4760 . . . . . . . . . 10 S
126, 8, 113bitri 262 . . . . . . . . 9 Ins2 Ins2 S
1310oqelins4 5794 . . . . . . . . . 10 Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
14 elin 3219 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2
15 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 Ins2 S Ins2 S
175otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 S S
18 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918, 7opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . . . 15 S
2016, 17, 193bitri 262 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins2 Ins2 S
217oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins4 SI3 Ins2 SI3 Ins2
22 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2318, 9, 22otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . . . 15 SI3 Ins2 Ins2
24 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins2 Ins2
259otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins2
26 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 brcnv 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2825, 26, 273bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins2
29 opelxp 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3018, 29mpbiran 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 brcnv 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3330, 31, 323bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3428, 33anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins2
3518, 9op1st2nd 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3624, 34, 353bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2
3721, 23, 363bitri 262 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins4 SI3 Ins2
3820, 37anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2
3914, 38bitri 240 . . . . . . . . . . . 12 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2
4039exbii 1582 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2
41 elima1c 4947 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2
42 df-rex 2620 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 423bitr4i 268 . . . . . . . . . 10 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
4413, 43bitri 240 . . . . . . . . 9 Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
4512, 44anbi12i 678 . . . . . . . 8 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
464, 45bitri 240 . . . . . . 7 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
4746exbii 1582 . . . . . 6 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
48 elima1c 4947 . . . . . 6 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
49 df-rex 2620 . . . . . 6
5047, 48, 493bitr4i 268 . . . . 5 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c
512, 3, 503bitr4ri 269 . . . 4 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c
5251releqmpt2 5809 . . 3 Ins2 S Ins3 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c1c
531, 52eqtr4i 2376 . 2 Cross Ins2 S Ins3 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c1c
54 vvex 4109 . . 3
55 ssetex 4744 . . . . . . 7 S
5655ins2ex 5797 . . . . . 6 Ins2 S
5756ins2ex 5797 . . . . 5 Ins2 Ins2 S
58 1stex 4739 . . . . . . . . . . . . 13
5958cnvex 5102 . . . . . . . . . . . 12
6059ins2ex 5797 . . . . . . . . . . 11 Ins2
61 2ndex 5112 . . . . . . . . . . . . 13
6261cnvex 5102 . . . . . . . . . . . 12
6354, 62xpex 5115 . . . . . . . . . . 11
6460, 63inex 4105 . . . . . . . . . 10 Ins2
6564si3ex 5806 . . . . . . . . 9 SI3 Ins2
6665ins4ex 5799 . . . . . . . 8 Ins4 SI3 Ins2
6757, 66inex 4105 . . . . . . 7 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2
68 1cex 4142 . . . . . . 7 1c
6967, 68imaex 4747 . . . . . 6 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
7069ins4ex 5799 . . . . 5 Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
7157, 70inex 4105 . . . 4 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c
7271, 68imaex 4747 . . 3 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c
7354, 54, 72mpt2exlem 5811 . 2 Ins2 S Ins3 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 1c1c1c
7453, 73eqeltri 2423 1 Cross
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859   cdif 3206   cin 3208   csymdif 3209  csn 3737  1cc1c 4134  cop 4561   class class class wbr 4639  c1st 4717   S csset 4719  cima 4722   cxp 4770  ccnv 4771  c2nd 4783   cmpt2 5653   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751   Ins4 cins4 5755   SI3 csi3 5757   Cross ccross 5763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-oprab 5528  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-cross 5764
This theorem is referenced by:  ovmuc  6130  mucex  6133
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