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Theorem dfphi2 4569
 Description: Express the phi operator in terms of the Kuratowski set construction functions. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2 Phi Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k

Proof of Theorem dfphi2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3668 . . . . . . . . 9 Nn Nn 1c 1c
21eqeq2d 2364 . . . . . . . 8 Nn Nn 1c 1c
3 iba 489 . . . . . . . 8 Nn 1c 1c Nn
4 simpr 447 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn
54con2i 112 . . . . . . . . . 10 Nn Nn
6 biorf 394 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Nn Nn 1c Nn
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn Nn 1c Nn
8 orcom 376 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn 1c Nn Nn
97, 8syl6bb 252 . . . . . . . 8 Nn 1c Nn 1c Nn Nn
102, 3, 93bitrd 270 . . . . . . 7 Nn Nn 1c 1c Nn Nn
11 iffalse 3669 . . . . . . . . 9 Nn Nn 1c
1211eqeq2d 2364 . . . . . . . 8 Nn Nn 1c
13 iba 489 . . . . . . . 8 Nn Nn
14 simpr 447 . . . . . . . . . 10 1c Nn Nn
1514con3i 127 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn
16 biorf 394 . . . . . . . . 9 1c Nn Nn 1c Nn Nn
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8 Nn Nn 1c Nn Nn
1812, 13, 173bitrd 270 . . . . . . 7 Nn Nn 1c 1c Nn Nn
1910, 18pm2.61i 156 . . . . . 6 Nn 1c 1c Nn Nn
20 equcom 1680 . . . . . . . 8
21 vex 2862 . . . . . . . . 9
2221elcompl 3225 . . . . . . . 8 Nn Nn
2320, 22anbi12i 678 . . . . . . 7 Nn Nn
2423orbi2i 505 . . . . . 6 1c Nn Nn 1c Nn Nn
2519, 24bitr4i 243 . . . . 5 Nn 1c 1c Nn Nn
26 elun 3220 . . . . . 6 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k
27 elin 3219 . . . . . . . 8 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k
28 vex 2862 . . . . . . . . . . 11
2921, 28opkelimagek 4272 . . . . . . . . . 10 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
30 dfaddc2 4381 . . . . . . . . . . 11 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
3130eqeq2i 2363 . . . . . . . . . 10 1c Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1ck
3229, 31bitr4i 243 . . . . . . . . 9 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c 1c
3321, 28opkelxpk 4248 . . . . . . . . . 10 Nn k Nn
3428, 33mpbiran2 885 . . . . . . . . 9 Nn k Nn
3532, 34anbi12i 678 . . . . . . . 8 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k 1c Nn
3627, 35bitri 240 . . . . . . 7 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k 1c Nn
37 elin 3219 . . . . . . . 8 k Nn k k Nn k
38 opkelidkg 4274 . . . . . . . . . 10 k
3921, 28, 38mp2an 653 . . . . . . . . 9 k
4021, 28opkelxpk 4248 . . . . . . . . . 10 Nn k Nn
4128, 40mpbiran2 885 . . . . . . . . 9 Nn k Nn
4239, 41anbi12i 678 . . . . . . . 8 k Nn k Nn
4337, 42bitri 240 . . . . . . 7 k Nn k Nn
4436, 43orbi12i 507 . . . . . 6 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k 1c Nn Nn
4526, 44bitri 240 . . . . 5 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k 1c Nn Nn
4625, 45bitr4i 243 . . . 4 Nn 1c Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k
4746rexbii 2639 . . 3 Nn 1c Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k
48 eqeq1 2359 . . . . 5 Nn 1c Nn 1c
4948rexbidv 2635 . . . 4 Nn 1c Nn 1c
50 df-phi 4565 . . . 4 Phi Nn 1c
5128, 49, 50elab2 2988 . . 3 Phi Nn 1c
5228elimak 4259 . . 3 Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k
5347, 51, 523bitr4i 268 . 2 Phi Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k
5453eqriv 2350 1 Phi Imagek Ins3k Ins3k Sk Ins2k Sk k1 1 1c Ins2k Ins2k Sk Ins2k Ins3k Sk Ins3k SIk SIk Sk k1 1 1 1 1ck1 1 1c Nn k k Nn k k
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cun 3207   cin 3208   csymdif 3209  cif 3662  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   k cxpk 4174   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   k cidk 4184   Nn cnnc 4373   cplc 4375   Phi cphi 4562 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-phi 4565 This theorem is referenced by:  phieq  4570  phiexg  4571  dfop2lem1  4573  dfop2  4575  dfproj12  4576  setconslem1  4731  setconslem2  4732  dfswap2  4741
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