Theorem enadj 6060

Description: Equivalence law for adjunction. Theorem XI.1.13 of [Rosser] p. 348. (Contributed by SF, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
enadj.1	|- A e. _V
enadj.2	|- B e. _V
enadj.3	|- X e. _V
enadj.4	|- Y e. _V

Assertion

Ref	Expression
enadj	|- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) -> A ~~ B)

Proof of Theorem enadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3744	. . . . . 6 |- (X = Y -> {X} = {Y})
2	1	uneq2d 3418	. . . . 5 |- (X = Y -> (A u. {X}) = (A u. {Y}))
3	2	eqeq1d 2361	. . . 4 |- (X = Y -> ((A u. {X}) = (B u. {Y}) <-> (A u. {Y}) = (B u. {Y})))
4		eleq1 2413	. . . . 5 |- (X = Y -> (X e. A <-> Y e. A))
5	4	notbid 285	. . . 4 |- (X = Y -> (-. X e. A <-> -. Y e. A))
6	3, 5	3anbi12d 1253	. . 3 |- (X = Y -> (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) <-> ((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B)))
7		simp1 955	. . . . . 6 |- (((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B) -> (A u. {Y}) = (B u. {Y}))
8	7	difeq1d 3384	. . . . 5 |- (((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B) -> ((A u. {Y}) \ {Y}) = ((B u. {Y}) \ {Y}))
9		nnsucelrlem2 4425	. . . . . 6 |- (-. Y e. A -> ((A u. {Y}) \ {Y}) = A)
10	9	3ad2ant2 977	. . . . 5 |- (((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B) -> ((A u. {Y}) \ {Y}) = A)
11		nnsucelrlem2 4425	. . . . . 6 |- (-. Y e. B -> ((B u. {Y}) \ {Y}) = B)
12	11	3ad2ant3 978	. . . . 5 |- (((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B) -> ((B u. {Y}) \ {Y}) = B)
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2393	. . . 4 |- (((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B) -> A = B)
14		enadj.2	. . . . 5 |- B e. _V
15	14	enrflx 6035	. . . 4 |- B ~~ B
16	13, 15	syl6eqbr 4676	. . 3 |- (((A u. {Y}) = (B u. {Y}) /\ -. Y e. A /\ -. Y e. B) -> A ~~ B)
17	6, 16	syl6bi 219	. 2 |- (X = Y -> (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) -> A ~~ B))
18		elsni 3757	. . . . . . . . 9 |- (Y e. {X} -> Y = X)
19	18	eqcomd 2358	. . . . . . . 8 |- (Y e. {X} -> X = Y)
20	19	necon3ai 2556	. . . . . . 7 |- (X =/= Y -> -. Y e. {X})
21	20	adantr 451	. . . . . 6 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> -. Y e. {X})
22		ssun2 3427	. . . . . . . . 9 |- {Y} C_ (B u. {Y})
23		enadj.4	. . . . . . . . . 10 |- Y e. _V
24	23	snid 3760	. . . . . . . . 9 |- Y e. {Y}
25	22, 24	sselii 3270	. . . . . . . 8 |- Y e. (B u. {Y})
26		simpr1 961	. . . . . . . 8 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> (A u. {X}) = (B u. {Y}))
27	25, 26	syl5eleqr 2440	. . . . . . 7 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> Y e. (A u. {X}))
28		elun 3220	. . . . . . 7 |- (Y e. (A u. {X}) <-> (Y e. A \/ Y e. {X}))
29	27, 28	sylib 188	. . . . . 6 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> (Y e. A \/ Y e. {X}))
30		orel2 372	. . . . . 6 |- (-. Y e. {X} -> ((Y e. A \/ Y e. {X}) -> Y e. A))
31	21, 29, 30	sylc 56	. . . . 5 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> Y e. A)
32		elsni 3757	. . . . . . . 8 |- (X e. {Y} -> X = Y)
33	32	necon3ai 2556	. . . . . . 7 |- (X =/= Y -> -. X e. {Y})
34	33	adantr 451	. . . . . 6 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> -. X e. {Y})
35		ssun2 3427	. . . . . . . . 9 |- {X} C_ (A u. {X})
36		enadj.3	. . . . . . . . . 10 |- X e. _V
37	36	snid 3760	. . . . . . . . 9 |- X e. {X}
38	35, 37	sselii 3270	. . . . . . . 8 |- X e. (A u. {X})
39	38, 26	syl5eleq 2439	. . . . . . 7 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> X e. (B u. {Y}))
40		elun 3220	. . . . . . 7 |- (X e. (B u. {Y}) <-> (X e. B \/ X e. {Y}))
41	39, 40	sylib 188	. . . . . 6 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> (X e. B \/ X e. {Y}))
42		orel2 372	. . . . . 6 |- (-. X e. {Y} -> ((X e. B \/ X e. {Y}) -> X e. B))
43	34, 41, 42	sylc 56	. . . . 5 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> X e. B)
44	31, 43	jca 518	. . . 4 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> (Y e. A /\ X e. B))
45		simpl1 958	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A u. {X}) = (B u. {Y}))
46		simpl2 959	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> -. X e. A)
47		simpl3 960	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> -. Y e. B)
48		simprl 732	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> Y e. A)
49		simprr 733	. . . . . . 7 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> X e. B)
50		enadjlem1 6059	. . . . . . 7 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ (-. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A \ {Y}) = (B \ {X}))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	syl122anc 1191	. . . . . 6 |- ((((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A \ {Y}) = (B \ {X}))
52	51	3adant1 973	. . . . 5 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> (A \ {Y}) = (B \ {X}))
53		enadj.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
54		snex 4111	. . . . . . . . . . 11 |- {Y} e. _V
55	53, 54	difex 4107	. . . . . . . . . 10 |- (A \ {Y}) e. _V
56	55	enrflx 6035	. . . . . . . . 9 |- (A \ {Y}) ~~ (A \ {Y})
57		breq2 4643	. . . . . . . . 9 |- ((A \ {Y}) = (B \ {X}) -> ((A \ {Y}) ~~ (A \ {Y}) <-> (A \ {Y}) ~~ (B \ {X})))
58	56, 57	mpbii 202	. . . . . . . 8 |- ((A \ {Y}) = (B \ {X}) -> (A \ {Y}) ~~ (B \ {X}))
59	58	adantl 452	. . . . . . 7 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> (A \ {Y}) ~~ (B \ {X}))
60	23, 36	ensn 6058	. . . . . . . 8 |- {Y} ~~ {X}
61	60	a1i 10	. . . . . . 7 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> {Y} ~~ {X})
62		incom 3448	. . . . . . . . 9 |- ((A \ {Y}) i^i {Y}) = ({Y} i^i (A \ {Y}))
63		disjdif 3622	. . . . . . . . 9 |- ({Y} i^i (A \ {Y})) = (/)
64	62, 63	eqtri 2373	. . . . . . . 8 |- ((A \ {Y}) i^i {Y}) = (/)
65	64	a1i 10	. . . . . . 7 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> ((A \ {Y}) i^i {Y}) = (/))
66		incom 3448	. . . . . . . . 9 |- ((B \ {X}) i^i {X}) = ({X} i^i (B \ {X}))
67		disjdif 3622	. . . . . . . . 9 |- ({X} i^i (B \ {X})) = (/)
68	66, 67	eqtri 2373	. . . . . . . 8 |- ((B \ {X}) i^i {X}) = (/)
69	68	a1i 10	. . . . . . 7 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> ((B \ {X}) i^i {X}) = (/))
70		unen 6048	. . . . . . 7 |- ((((A \ {Y}) ~~ (B \ {X}) /\ {Y} ~~ {X}) /\ (((A \ {Y}) i^i {Y}) = (/) /\ ((B \ {X}) i^i {X}) = (/))) -> ((A \ {Y}) u. {Y}) ~~ ((B \ {X}) u. {X}))
71	59, 61, 65, 69, 70	syl22anc 1183	. . . . . 6 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> ((A \ {Y}) u. {Y}) ~~ ((B \ {X}) u. {X}))
72		simpl3l 1010	. . . . . . 7 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> Y e. A)
73		nnsucelrlem4 4427	. . . . . . 7 |- (Y e. A -> ((A \ {Y}) u. {Y}) = A)
74	72, 73	syl 15	. . . . . 6 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> ((A \ {Y}) u. {Y}) = A)
75		simpl3r 1011	. . . . . . 7 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> X e. B)
76		nnsucelrlem4 4427	. . . . . . 7 |- (X e. B -> ((B \ {X}) u. {X}) = B)
77	75, 76	syl 15	. . . . . 6 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> ((B \ {X}) u. {X}) = B)
78	71, 74, 77	3brtr3d 4668	. . . . 5 |- (((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) /\ (A \ {Y}) = (B \ {X})) -> A ~~ B)
79	52, 78	mpdan 649	. . . 4 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) /\ (Y e. A /\ X e. B)) -> A ~~ B)
80	44, 79	mpd3an3 1278	. . 3 |- ((X =/= Y /\ ((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B)) -> A ~~ B)
81	80	ex 423	. 2 |- (X =/= Y -> (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) -> A ~~ B))
82	17, 81	pm2.61ine 2592	1 |- (((A u. {X}) = (B u. {Y}) /\ -. X e. A /\ -. Y e. B) -> A ~~ B)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 357   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2516  _Vcvv 2859   \ cdif 3206   u. cun 3207   i^i cin 3208  (/)c0 3550  {csn 3737   class class class wbr 4639   ~~ cen 6028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-2nd 4797  df-en 6029

This theorem is referenced by:  peano4nc  6150