NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  enprmaplem3 Unicode version

Theorem enprmaplem3 6078
Description: Lemma for enprmap 6082. The converse of is a function. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
enprmaplem3.1
Assertion
Ref Expression
enprmaplem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem enprmaplem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brcnv 4892 . . . . . 6
2 brcnv 4892 . . . . . 6
3 breldm 4911 . . . . . . . . 9
4 enprmaplem3.1 . . . . . . . . . . 11
54enprmaplem2 6077 . . . . . . . . . 10
6 fndm 5182 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9
83, 7syl6eleq 2443 . . . . . . . 8
9 fnfun 5181 . . . . . . . . . . 11
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
11 funbrfv 5356 . . . . . . . . . 10
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9
13 cnveq 4886 . . . . . . . . . . . 12
1413imaeq1d 4941 . . . . . . . . . . 11
15 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
1615cnvex 5102 . . . . . . . . . . . 12
17 snex 4111 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17imaex 4747 . . . . . . . . . . 11
1914, 4, 18fvmpt 5700 . . . . . . . . . 10
208, 19syl 15 . . . . . . . . 9
2112, 20eqtr3d 2387 . . . . . . . 8
228, 21jca 518 . . . . . . 7
23 breldm 4911 . . . . . . . . 9
2423, 7syl6eleq 2443 . . . . . . . 8
25 funbrfv 5356 . . . . . . . . . 10
2610, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9
27 cnveq 4886 . . . . . . . . . . . 12
2827imaeq1d 4941 . . . . . . . . . . 11
29 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
3029cnvex 5102 . . . . . . . . . . . 12
3130, 17imaex 4747 . . . . . . . . . . 11
3228, 4, 31fvmpt 5700 . . . . . . . . . 10
3324, 32syl 15 . . . . . . . . 9
3426, 33eqtr3d 2387 . . . . . . . 8
3524, 34jca 518 . . . . . . 7
3622, 35anim12i 549 . . . . . 6
371, 2, 36syl2anb 465 . . . . 5
38 elmapi 6016 . . . . . . . . 9
39 elmapi 6016 . . . . . . . . 9
4038, 39anim12i 549 . . . . . . . 8
41 eqtr2 2371 . . . . . . . 8
42 simprll 738 . . . . . . . . . . 11
43 ffn 5223 . . . . . . . . . . 11
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . 10
45 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11
46 ffn 5223 . . . . . . . . . . 11
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . 10
48 ffvelrn 5415 . . . . . . . . . . . 12
4942, 48sylan 457 . . . . . . . . . . 11
50 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
5150eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . 13
52 fvex 5339 . . . . . . . . . . . . . 14
5352elpr 3751 . . . . . . . . . . . . 13
5451, 53syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12
55 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 eliniseg 5020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 eliniseg 5020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6057, 58, 593bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6344, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6547, 64sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6661, 63, 653imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15
6855, 67eqtr4d 2388 . . . . . . . . . . . . . 14
6968expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
70 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7271neneqd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
74 ffun 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
75 fununiq 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
76753expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7776ancomsd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7873, 74, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7978exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8079impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8172, 80mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8281expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8360biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8482, 83nsyld 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8584impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8745adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
88 fdm 5226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9086, 89eleqtrrd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91 eldm 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
92 brelrn 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
93 frn 5228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9487, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9594sseld 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9692, 95syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
97 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9897eleq2d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
99 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10099elpr 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
101 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
102101biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
103 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
104103biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
105102, 104orim12d 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
106105com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
107100, 106sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10898, 107syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109108com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11096, 109mpdd 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111110exlimdv 1636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11291, 111syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11390, 112mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 orel1 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11585, 113, 114sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11844, 117sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12047, 119sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121116, 118, 1203imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122121impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15
12370, 122eqtr4d 2388 . . . . . . . . . . . . . 14
124123expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
12569, 124jaod 369 . . . . . . . . . . . 12
12654, 125sylbid 206 . . . . . . . . . . 11
12749, 126mpd 14 . . . . . . . . . 10
12844, 47, 127eqfnfvd 5395 . . . . . . . . 9
129128expcom 424 . . . . . . . 8
13040, 41, 129syl2an 463 . . . . . . 7
131130an4s 799 . . . . . 6
132131com12 27 . . . . 5
13337, 132syl5 28 . . . 4
134133alrimiv 1631 . . 3
135134alrimivv 1632 . 2
136 dffun2 5119 . 2
137135, 136sylibr 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516   wss 3257  csn 3737  cpr 3738   class class class wbr 4639  cima 4722  ccnv 4771   cdm 4772   crn 4773   wfun 4775   wfn 4776  wf 4777  cfv 4781  (class class class)co 5525   cmpt 5651   cmap 5999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-map 6001
This theorem is referenced by:  enprmap  6082
  Copyright terms: Public domain W3C validator