Theorem eqerlem 5960

Description: Lemma for eqer 5961. (Contributed by set.mm contributors, 17-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqer.1	|- (x = y -> A = B)
eqer.2	|- R = {<.x, y>. | A = B}

Assertion

Ref	Expression
eqerlem	|- (zRw <-> [_z / x]_A = [_w / x]_A)

Distinct variable groups:   y,A   x,B   z,w,R   x,w,y,z

Allowed substitution hints:   A(x,z,w)   B(y,z,w)   R(x,y)

Proof of Theorem eqerlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqer.2	. . . 4 |- R = {<.x, y>. | A = B}
2	1	brabsb 4698	. . 3 |- (zRw <-> [.z / x ]. [.w / y ].A = B)
3		sbccom 3117	. . 3 |- ( [.z / x ]. [.w / y ].A = B <-> [.w / y ]. [.z / x ].A = B)
4	2, 3	bitri 240	. 2 |- (zRw <-> [.w / y ]. [.z / x ].A = B)
5		vex 2862	. . . . 5 |- z e. _V
6		sbceq1g 3156	. . . . 5 |- (z e. _V -> ( [.z / x ].A = B <-> [_z / x]_A = B))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- ( [.z / x ].A = B <-> [_z / x]_A = B)
8		vex 2862	. . . . . 6 |- y e. _V
9		nfcv 2489	. . . . . 6 |- F/_xB
10		eqer.1	. . . . . 6 |- (x = y -> A = B)
11	8, 9, 10	csbief 3177	. . . . 5 |- [_y / x]_A = B
12	11	eqeq2i 2363	. . . 4 |- ([_z / x]_A = [_y / x]_A <-> [_z / x]_A = B)
13	7, 12	bitr4i 243	. . 3 |- ( [.z / x ].A = B <-> [_z / x]_A = [_y / x]_A)
14	13	sbcbii 3101	. 2 |- ( [.w / y ]. [.z / x ].A = B <-> [.w / y ].[_z / x]_A = [_y / x]_A)
15		vex 2862	. . . 4 |- w e. _V
16		sbceq2g 3158	. . . 4 |- (w e. _V -> ( [.w / y ].[_z / x]_A = [_y / x]_A <-> [_z / x]_A = [_w / y]_[_y / x]_A))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( [.w / y ].[_z / x]_A = [_y / x]_A <-> [_z / x]_A = [_w / y]_[_y / x]_A)
18		csbco 3145	. . . 4 |- [_w / y]_[_y / x]_A = [_w / x]_A
19	18	eqeq2i 2363	. . 3 |- ([_z / x]_A = [_w / y]_[_y / x]_A <-> [_z / x]_A = [_w / x]_A)
20	17, 19	bitri 240	. 2 |- ( [.w / y ].[_z / x]_A = [_y / x]_A <-> [_z / x]_A = [_w / x]_A)
21	4, 14, 20	3bitri 262	1 |- (zRw <-> [_z / x]_A = [_w / x]_A)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2859   [.wsbc 3046  [_csb 3136  {copab 4622   class class class wbr 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640

This theorem is referenced by:  eqer  5961