Theorem f1ococnv2 5309

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by set.mm contributors, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	|- (F:A-1-1-onto->B -> (F o. `'F) = ( _I |` B))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofun 5289	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> Fun F)
2		df-fun 4789	. . . 4 |- (Fun F <-> (F o. `'F) C_ _I )
3		iss 5000	. . . 4 |- ((F o. `'F) C_ _I <-> (F o. `'F) = ( _I |` dom (F o. `'F)))
4	2, 3	bitri 240	. . 3 |- (Fun F <-> (F o. `'F) = ( _I |` dom (F o. `'F)))
5	1, 4	sylib 188	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (F o. `'F) = ( _I |` dom (F o. `'F)))
6		df-dm 4787	. . . . . 6 |- dom F = ran `'F
7		dmcoeq 4974	. . . . . 6 |- (dom F = ran `'F -> dom (F o. `'F) = dom `'F)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom (F o. `'F) = dom `'F
9		dfrn4 4904	. . . . 5 |- ran F = dom `'F
10	8, 9	eqtr4i 2376	. . . 4 |- dom (F o. `'F) = ran F
11		f1ofo 5293	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->B -> F:A-onto->B)
12		forn 5272	. . . . 5 |- (F:A-onto->B -> ran F = B)
13	11, 12	syl 15	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> ran F = B)
14	10, 13	syl5eq 2397	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> dom (F o. `'F) = B)
15	14	reseq2d 4934	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> ( _I |` dom (F o. `'F)) = ( _I |` B))
16	5, 15	eqtrd 2385	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> (F o. `'F) = ( _I |` B))

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1642   C_ wss 3257   o. ccom 4721   _I cid 4763  `'ccnv 4771  dom cdm 4772  ran crn 4773   |` cres 4774  Fun wfun 4775  -onto->wfo 4779  -1-1-onto->wf1o 4780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  5310  f1cocnv2  5313  enmap2lem5  6067  enmap1lem5  6073