Theorem fcnvres 5243

Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by set.mm contributors, 26-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Proof of Theorem fcnvres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4640	. . . . 5 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
2		ffn 5223	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3		fnbr 5185	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ xFy) -> x e. A)
4	2, 3	sylan 457	. . . . . 6 |- ((F:A-->B /\ xFy) -> x e. A)
5		frn 5228	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> ran F C_ B)
6		brelrn 4960	. . . . . . 7 |- (xFy -> y e. ran F)
7		ssel2 3268	. . . . . . 7 |- ((ran F C_ B /\ y e. ran F) -> y e. B)
8	5, 6, 7	syl2an 463	. . . . . 6 |- ((F:A-->B /\ xFy) -> y e. B)
9	4, 8	2thd 231	. . . . 5 |- ((F:A-->B /\ xFy) -> (x e. A <-> y e. B))
10	1, 9	sylan2br 462	. . . 4 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A <-> y e. B))
11	10	pm5.32da 622	. . 3 |- (F:A-->B -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. A) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
12		opelcnv 4893	. . . 4 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.x, y>. e. (F |` A))
13		opelres 4950	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
14	12, 13	bitri 240	. . 3 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
15		opelres 4950	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.y, x>. e. `'F /\ y e. B))
16		opelcnv 4893	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. `'F <-> <.x, y>. e. F)
17	16	anbi1i 676	. . . 4 |- ((<.y, x>. e. `'F /\ y e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
18	15, 17	bitri 240	. . 3 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
19	11, 14, 18	3bitr4g 279	. 2 |- (F:A-->B -> (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
20	19	eqrelrdv 4852	1 |- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710   C_ wss 3257  <.cop 4561   class class class wbr 4639  `'ccnv 4771  ran crn 4773   |` cres 4774   Fn wfn 4776  -->wf 4777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fn 4790  df-f 4791

This theorem is referenced by: (None)