NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fununi Unicode version

Theorem fununi 5160
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by set.mm contributors, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem fununi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.28av 2753 . . . 4
21ralimi 2689 . . 3
3 ssel 3267 . . . . . . . . . . . . 13
43anim1d 547 . . . . . . . . . . . 12
5 dffun4 5121 . . . . . . . . . . . . 13
6 sp 1747 . . . . . . . . . . . . . . 15
76sps 1754 . . . . . . . . . . . . . 14
87sps 1754 . . . . . . . . . . . . 13
95, 8sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12
104, 9syl9r 67 . . . . . . . . . . 11
1110adantl 452 . . . . . . . . . 10
12 ssel 3267 . . . . . . . . . . . . 13
1312anim2d 548 . . . . . . . . . . . 12
14 dffun4 5121 . . . . . . . . . . . . 13
15 sp 1747 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615sps 1754 . . . . . . . . . . . . . 14
1716sps 1754 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 17sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12
1913, 18syl9r 67 . . . . . . . . . . 11
2019adantr 451 . . . . . . . . . 10
2111, 20jaod 369 . . . . . . . . 9
2221imp 418 . . . . . . . 8
2322ralimi 2689 . . . . . . 7
2423ralimi 2689 . . . . . 6
25 funeq 5127 . . . . . . . . . 10
26 sseq1 3292 . . . . . . . . . . 11
27 sseq2 3293 . . . . . . . . . . 11
2826, 27orbi12d 690 . . . . . . . . . 10
2925, 28anbi12d 691 . . . . . . . . 9
30 sseq2 3293 . . . . . . . . . . 11
31 sseq1 3292 . . . . . . . . . . 11
3230, 31orbi12d 690 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 684 . . . . . . . . 9
3429, 33cbvral2v 2843 . . . . . . . 8
35 ralcom 2771 . . . . . . . . 9
36 orcom 376 . . . . . . . . . . . 12
37 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . . 13
38 sseq2 3293 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38orbi12d 690 . . . . . . . . . . . 12
4036, 39syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11
4140anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
42 funeq 5127 . . . . . . . . . . 11
43 sseq2 3293 . . . . . . . . . . . 12
44 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44orbi12d 690 . . . . . . . . . . 11
4642, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . 10
4741, 46cbvral2v 2843 . . . . . . . . 9
4835, 47bitri 240 . . . . . . . 8
4934, 48anbi12i 678 . . . . . . 7
50 anidm 625 . . . . . . 7
51 anandir 802 . . . . . . . . 9
52512ralbii 2640 . . . . . . . 8
53 r19.26-2 2747 . . . . . . . 8
5452, 53bitr2i 241 . . . . . . 7
5549, 50, 543bitr3i 266 . . . . . 6
56 eluni 3894 . . . . . . . . . 10
57 eluni 3894 . . . . . . . . . 10
5856, 57anbi12i 678 . . . . . . . . 9
59 eeanv 1913 . . . . . . . . 9
60 an4 797 . . . . . . . . . . 11
61 ancom 437 . . . . . . . . . . 11
6260, 61bitri 240 . . . . . . . . . 10
63622exbii 1583 . . . . . . . . 9
6458, 59, 633bitr2i 264 . . . . . . . 8
6564imbi1i 315 . . . . . . 7
66 19.23v 1891 . . . . . . . . 9
6766albii 1566 . . . . . . . 8
68 impexp 433 . . . . . . . . . 10
69682albii 1567 . . . . . . . . 9
70 r2al 2651 . . . . . . . . 9
7169, 70bitr4i 243 . . . . . . . 8
72 19.23v 1891 . . . . . . . 8
7367, 71, 723bitr3ri 267 . . . . . . 7
7465, 73bitri 240 . . . . . 6
7524, 55, 743imtr4i 257 . . . . 5
7675alrimiv 1631 . . . 4
7776alrimivv 1632 . . 3
782, 77syl 15 . 2
79 dffun4 5121 . 2
8078, 79sylibr 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wo 357   wa 358  wal 1540  wex 1541   wcel 1710  wral 2614   wss 3257  cuni 3891  cop 4561   wfun 4775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-id 4767  df-cnv 4785  df-fun 4789
This theorem is referenced by:  funcnvuni  5161  fun11uni  5162
  Copyright terms: Public domain W3C validator