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Theorem leconnnc 6218
Description: Cardinal less than or equal is total over the naturals. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
leconnnc Nn Nn <_c <_c

Proof of Theorem leconnnc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4643 . . . . . 6 <_c <_c
2 breq1 4642 . . . . . 6 <_c <_c
31, 2orbi12d 690 . . . . 5 <_c <_c <_c <_c
43imbi2d 307 . . . 4 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
5 elun 3220 . . . . . . . . . . . 12 <_c <_c <_c <_c
6 eliniseg 5020 . . . . . . . . . . . . 13 <_c <_c
7 elimasn 5019 . . . . . . . . . . . . . 14 <_c <_c
8 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 <_c <_c
97, 8bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . 13 <_c <_c
106, 9orbi12i 507 . . . . . . . . . . . 12 <_c <_c <_c <_c
115, 10bitri 240 . . . . . . . . . . 11 <_c <_c <_c <_c
1211abbi2i 2464 . . . . . . . . . 10 <_c <_c <_c <_c
1312uneq2i 3415 . . . . . . . . 9 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
14 unab 3521 . . . . . . . . 9 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
1513, 14eqtri 2373 . . . . . . . 8 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
16 imor 401 . . . . . . . . 9 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
1716abbii 2465 . . . . . . . 8 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
1815, 17eqtr4i 2376 . . . . . . 7 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
19 abexv 4324 . . . . . . . 8 Nn
20 lecex 6115 . . . . . . . . . . 11 <_c
2120cnvex 5102 . . . . . . . . . 10 <_c
22 snex 4111 . . . . . . . . . 10
2321, 22imaex 4747 . . . . . . . . 9 <_c
2420, 22imaex 4747 . . . . . . . . 9 <_c
2523, 24unex 4106 . . . . . . . 8 <_c <_c
2619, 25unex 4106 . . . . . . 7 Nn <_c <_c
2718, 26eqeltrri 2424 . . . . . 6 Nn <_c <_c
28 breq1 4642 . . . . . . . 8 0c <_c 0c <_c
29 breq2 4643 . . . . . . . 8 0c <_c <_c 0c
3028, 29orbi12d 690 . . . . . . 7 0c <_c <_c 0c <_c <_c 0c
3130imbi2d 307 . . . . . 6 0c Nn <_c <_c Nn 0c <_c <_c 0c
32 breq1 4642 . . . . . . . 8 <_c <_c
33 breq2 4643 . . . . . . . 8 <_c <_c
3432, 33orbi12d 690 . . . . . . 7 <_c <_c <_c <_c
3534imbi2d 307 . . . . . 6 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
36 breq1 4642 . . . . . . . 8 1c <_c 1c <_c
37 breq2 4643 . . . . . . . 8 1c <_c <_c 1c
3836, 37orbi12d 690 . . . . . . 7 1c <_c <_c 1c <_c <_c 1c
3938imbi2d 307 . . . . . 6 1c Nn <_c <_c Nn 1c <_c <_c 1c
40 breq1 4642 . . . . . . . 8 <_c <_c
41 breq2 4643 . . . . . . . 8 <_c <_c
4240, 41orbi12d 690 . . . . . . 7 <_c <_c <_c <_c
4342imbi2d 307 . . . . . 6 Nn <_c <_c Nn <_c <_c
44 nnnc 6146 . . . . . . . 8 Nn NC
45 le0nc 6200 . . . . . . . 8 NC 0c <_c
4644, 45syl 15 . . . . . . 7 Nn 0c <_c
47 orc 374 . . . . . . 7 0c <_c 0c <_c <_c 0c
4846, 47syl 15 . . . . . 6 Nn 0c <_c <_c 0c
49 nnnc 6146 . . . . . . . . 9 Nn NC
50 dflec2 6210 . . . . . . . . . . 11 NC NC <_c NC
51 nc0le1 6216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC 0c 1c <_c
52 1cnc 6139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1c NC
53 le0nc 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1c NC 0c <_c 1c
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0c <_c 1c
55 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0c <_c 1c 0c <_c 1c
5654, 55mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0c <_c 1c
5756orim1i 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0c 1c <_c <_c 1c 1c <_c
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC 0c 1c <_c <_c 1c 1c <_c
5951, 58mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NC <_c 1c 1c <_c
6059orcomd 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NC 1c <_c <_c 1c
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 NC NC 1c <_c <_c 1c
62 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC 1c <_c NC
6352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC 1c <_c 1c NC
64 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC 1c <_c NC
65 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC 1c <_c 1c <_c
66 leaddc2 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC 1c NC NC 1c <_c 1c <_c
6762, 63, 64, 65, 66syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NC NC 1c <_c 1c <_c
6867ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NC NC 1c <_c 1c <_c
69 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC <_c 1c NC
70 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC <_c 1c NC
7152a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC <_c 1c 1c NC
72 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC <_c 1c <_c 1c
73 leaddc2 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NC NC 1c NC <_c 1c <_c 1c
7469, 70, 71, 72, 73syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NC NC <_c 1c <_c 1c
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NC NC <_c 1c <_c 1c
7668, 75orim12d 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 NC NC 1c <_c <_c 1c 1c <_c <_c 1c
7761, 76mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14 NC NC 1c <_c <_c 1c
78 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c <_c 1c <_c
79 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <_c 1c <_c 1c
8078, 79orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c <_c <_c 1c 1c <_c <_c 1c
8180biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c <_c <_c 1c 1c <_c <_c 1c
8281com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14 1c <_c <_c 1c 1c <_c <_c 1c
8377, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 NC NC 1c <_c <_c 1c
8483rexlimdva 2738 . . . . . . . . . . . 12 NC NC 1c <_c <_c 1c
8584adantr 451 . . . . . . . . . . 11 NC NC NC 1c <_c <_c 1c
8650, 85sylbid 206 . . . . . . . . . 10 NC NC <_c 1c <_c <_c 1c
87 addlecncs 6209 . . . . . . . . . . . . . . 15 NC 1c NC <_c 1c
8852, 87mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14 NC <_c 1c
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13 NC NC <_c 1c
90 peano2nc 6145 . . . . . . . . . . . . . . 15 NC 1c NC
9190adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14 NC NC 1c NC
92 lectr 6211 . . . . . . . . . . . . . 14 NC NC 1c NC <_c <_c 1c <_c 1c
9391, 92mpd3an3 1278 . . . . . . . . . . . . 13 NC NC <_c <_c 1c <_c 1c
9489, 93mpan2d 655 . . . . . . . . . . . 12 NC NC <_c <_c 1c
9594ancoms 439 . . . . . . . . . . 11 NC NC <_c <_c 1c
96 olc 373 . . . . . . . . . . 11 <_c 1c 1c <_c <_c 1c
9795, 96syl6 29 . . . . . . . . . 10 NC NC <_c 1c <_c <_c 1c
9886, 97jaod 369 . . . . . . . . 9 NC NC <_c <_c 1c <_c <_c 1c
9949, 44, 98syl2an 463 . . . . . . . 8 Nn Nn <_c <_c 1c <_c <_c 1c
10099ex 423 . . . . . . 7 Nn Nn <_c <_c 1c <_c <_c 1c
101100a2d 23 . . . . . 6 Nn Nn <_c <_c Nn 1c <_c <_c 1c
10227, 31, 35, 39, 43, 48, 101finds 4411 . . . . 5 Nn Nn <_c <_c
103102com12 27 . . . 4 Nn Nn <_c <_c
1044, 103vtoclga 2920 . . 3 Nn Nn <_c <_c
105104com12 27 . 2 Nn Nn <_c <_c
106105imp 418 1 Nn Nn <_c <_c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wrex 2615  cvv 2859   cun 3207  csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375  cop 4561   class class class wbr 4639  cima 4722  ccnv 4771   NC cncs 6088   <_c clec 6089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101
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