NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ltfintr Unicode version

Theorem ltfintr 4459
Description: Transitivity law for finite less than. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltfintr Nn Nn Nn <fin <fin <fin

Proof of Theorem ltfintr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 797 . . 3 Nn 1c Nn 1c Nn 1c Nn 1c
2 simpl 443 . . . . 5
32a1i 10 . . . 4 Nn Nn Nn
4 reeanv 2778 . . . . 5 Nn Nn 1c 1c Nn 1c Nn 1c
5 addccom 4406 . . . . . . . . . 10 1c 1c
6 peano2 4403 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Nn
75, 6syl5eqel 2437 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn
8 nncaddccl 4419 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn 1c Nn
97, 8sylan2 460 . . . . . . . 8 Nn Nn 1c Nn
109adantl 452 . . . . . . 7 Nn Nn Nn Nn Nn 1c Nn
11 addceq1 4383 . . . . . . . . . 10 1c 1c
12 addceq1 4383 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9 1c 1c 1c 1c
1413eqeq2d 2364 . . . . . . . 8 1c 1c 1c 1c
1514biimpa 470 . . . . . . 7 1c 1c 1c 1c
16 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
17 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
18 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
1917, 18eqtri 2373 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
2016, 19syl6eqr 2403 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
21 addceq1 4383 . . . . . . . . . . 11 1c 1c 1c 1c
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . 10 1c 1c 1c 1c
2322eqeq2d 2364 . . . . . . . . 9 1c 1c 1c 1c
2423rspcev 2955 . . . . . . . 8 1c Nn 1c 1c Nn 1c
2524ex 423 . . . . . . 7 1c Nn 1c 1c Nn 1c
2610, 15, 25syl2im 34 . . . . . 6 Nn Nn Nn Nn Nn 1c 1c Nn 1c
2726rexlimdvva 2745 . . . . 5 Nn Nn Nn Nn Nn 1c 1c Nn 1c
284, 27syl5bir 209 . . . 4 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c Nn 1c
293, 28anim12d 546 . . 3 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c Nn 1c
301, 29syl5bi 208 . 2 Nn Nn Nn Nn 1c Nn 1c Nn 1c
31 opkltfing 4449 . . . 4 Nn Nn <fin Nn 1c
32313adant3 975 . . 3 Nn Nn Nn <fin Nn 1c
33 opkltfing 4449 . . . 4 Nn Nn <fin Nn 1c
34333adant1 973 . . 3 Nn Nn Nn <fin Nn 1c
3532, 34anbi12d 691 . 2 Nn Nn Nn <fin <fin Nn 1c Nn 1c
36 opkltfing 4449 . . 3 Nn Nn <fin Nn 1c
37363adant2 974 . 2 Nn Nn Nn <fin Nn 1c
3830, 35, 373imtr4d 259 1 Nn Nn Nn <fin <fin <fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   cplc 4375   <fin cltfin 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441
This theorem is referenced by:  ltfinasym  4460  ltfintri  4466
  Copyright terms: Public domain W3C validator