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Theorem nclenn 6249
 Description: A cardinal that is less than or equal to a natural is a natural. Theorem XI.3.3 of [Rosser] p. 391. (Contributed by SF, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nclenn NC Nn c Nn

Proof of Theorem nclenn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nclennlem1 6248 . . . . 5 NC c Nn
2 breq2 4643 . . . . . . 7 0c c c 0c
32imbi1d 308 . . . . . 6 0c c Nn c 0c Nn
43ralbidv 2634 . . . . 5 0c NC c Nn NC c 0c Nn
5 breq2 4643 . . . . . . 7 c c
65imbi1d 308 . . . . . 6 c Nn c Nn
76ralbidv 2634 . . . . 5 NC c Nn NC c Nn
8 breq2 4643 . . . . . . 7 1c c c 1c
98imbi1d 308 . . . . . 6 1c c Nn c 1c Nn
109ralbidv 2634 . . . . 5 1c NC c Nn NC c 1c Nn
11 breq2 4643 . . . . . . 7 c c
1211imbi1d 308 . . . . . 6 c Nn c Nn
1312ralbidv 2634 . . . . 5 NC c Nn NC c Nn
14 le0nc 6200 . . . . . . 7 NC 0c c
15 0cnc 6138 . . . . . . . . . . 11 0c NC
16 sbth 6206 . . . . . . . . . . 11 NC 0c NC c 0c 0c c 0c
1715, 16mpan2 652 . . . . . . . . . 10 NC c 0c 0c c 0c
1817imp 418 . . . . . . . . 9 NC c 0c 0c c 0c
19 peano1 4402 . . . . . . . . 9 0c Nn
2018, 19syl6eqel 2441 . . . . . . . 8 NC c 0c 0c c Nn
2120ex 423 . . . . . . 7 NC c 0c 0c c Nn
2214, 21mpan2d 655 . . . . . 6 NC c 0c Nn
2322rgen 2679 . . . . 5 NC c 0c Nn
24 peano2 4403 . . . . . . . . . . . 12 Nn 1c Nn
25 nnnc 6146 . . . . . . . . . . . 12 1c Nn 1c NC
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11 Nn 1c NC
27 dflec2 6210 . . . . . . . . . . 11 NC 1c NC c 1c NC 1c
2826, 27sylan2 460 . . . . . . . . . 10 NC Nn c 1c NC 1c
2928ancoms 439 . . . . . . . . 9 Nn NC c 1c NC 1c
30293adant3 975 . . . . . . . 8 Nn NC c Nn c 1c NC 1c
31 nc0suc 6217 . . . . . . . . . 10 NC 0c NC 1c
32 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0c 0c
33 addcid1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0c
3432, 33syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0c
3534eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0c 1c 1c
3635biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 0c 1c 1c
37 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c 1c Nn Nn
3837biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c Nn 1c Nn
3936, 38syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14 1c Nn 0c 1c Nn
4039exp3a 425 . . . . . . . . . . . . 13 1c Nn 0c 1c Nn
4124, 40syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Nn 0c 1c Nn
42413ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11 Nn NC c Nn 0c 1c Nn
43 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c 1c
44 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1c 1c
4543, 44syl6eqr 2403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c 1c
4645eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15 1c 1c 1c 1c
4746biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c 1c 1c
48 nnnc 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn NC
49483ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn NC c Nn NC
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn NC c Nn NC NC
51 ncaddccl 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NC NC NC
52513ad2antl2 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn NC c Nn NC NC
53 peano4nc 6150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NC NC 1c 1c
5450, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn NC c Nn NC 1c 1c
55 addlecncs 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 NC NC c
56 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 c c
5755, 56syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NC NC c
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NC NC c
5958com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NC NC c
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nn NC NC c
61 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 c c Nn Nn
6260, 61syl8 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Nn NC NC c Nn Nn
6362com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nn NC c Nn NC Nn
64633impia 1148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nn NC c Nn NC Nn
6564imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nn NC c Nn NC Nn
6654, 65sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . 14 Nn NC c Nn NC 1c 1c Nn
6747, 66syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13 Nn NC c Nn NC 1c 1c Nn
6867exp3a 425 . . . . . . . . . . . 12 Nn NC c Nn NC 1c 1c Nn
6968rexlimdva 2738 . . . . . . . . . . 11 Nn NC c Nn NC 1c 1c Nn
7042, 69jaod 369 . . . . . . . . . 10 Nn NC c Nn 0c NC 1c 1c Nn
7131, 70syl5 28 . . . . . . . . 9 Nn NC c Nn NC 1c Nn
7271rexlimdv 2737 . . . . . . . 8 Nn NC c Nn NC 1c Nn
7330, 72sylbid 206 . . . . . . 7 Nn NC c Nn c 1c Nn
74733expia 1153 . . . . . 6 Nn NC c Nn c 1c Nn
7574ralimdva 2692 . . . . 5 Nn NC c Nn NC c 1c Nn
761, 4, 7, 10, 13, 23, 75finds 4411 . . . 4 Nn NC c Nn
77 breq1 4642 . . . . . 6 c c
78 eleq1 2413 . . . . . 6 Nn Nn
7977, 78imbi12d 311 . . . . 5 c Nn c Nn
8079rspccv 2952 . . . 4 NC c Nn NC c Nn
8176, 80syl 15 . . 3 Nn NC c Nn
8281com12 27 . 2 NC Nn c Nn
83823imp 1145 1 NC Nn c Nn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375   class class class wbr 4639   NC cncs 6088   c clec 6089 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-fix 5740  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-clos1 5873  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101 This theorem is referenced by:  nchoicelem17  6305
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