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Theorem opkelimagekg 4271
Description: Membership in the Kuratowski image functor. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
opkelimagekg Imagek k

Proof of Theorem opkelimagekg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2867 . 2
2 elex 2867 . 2
3 opkelxpkg 4247 . . . . . 6 k
43ibir 233 . . . . 5 k
54biantrurd 494 . . . 4 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
6 exnal 1574 . . . . . 6 k k
7 opkex 4113 . . . . . . . . 9
87elimak 4259 . . . . . . . 8 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
9 df-rex 2620 . . . . . . . 8 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
10 elpw121c 4148 . . . . . . . . . . . 12 1 1 1c
1110anbi1i 676 . . . . . . . . . . 11 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
12 19.41v 1901 . . . . . . . . . . 11 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
1311, 12bitr4i 243 . . . . . . . . . 10 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
1413exbii 1582 . . . . . . . . 9 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
15 excom 1741 . . . . . . . . 9 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
16 snex 4111 . . . . . . . . . . 11
17 opkeq1 4059 . . . . . . . . . . . 12
1817eleq1d 2419 . . . . . . . . . . 11 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
1916, 18ceqsexv 2894 . . . . . . . . . 10 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
2019exbii 1582 . . . . . . . . 9 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
2114, 15, 203bitri 262 . . . . . . . 8 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
228, 9, 213bitri 262 . . . . . . 7 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
23 elsymdif 3223 . . . . . . . . 9 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk
24 snex 4111 . . . . . . . . . . . . 13
25 otkelins2kg 4253 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2k Sk Sk
2624, 25mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12 Ins2k Sk Sk
27 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . 14
28 elssetkg 4269 . . . . . . . . . . . . . 14 Sk
2927, 28mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13 Sk
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . 12 Sk
3126, 30bitrd 244 . . . . . . . . . . 11 Ins2k Sk
32 otkelins3kg 4254 . . . . . . . . . . . . 13 Ins3k Sk k k SIk Sk k k SIk
3324, 32mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12 Ins3k Sk k k SIk Sk k k SIk
34 opkelcokg 4261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Sk k k SIk k SIk Sk
3524, 34mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 Sk k k SIk k SIk Sk
36 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 elssetkg 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Sk
3836, 37mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Sk
3938anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Sk
4039exbidv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Sk
41 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4224, 41opkelcnvk 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 k SIk SIk
43 sikss1c1c 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 SIk 1c k 1c
4443sseli 3269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 SIk 1c k 1c
4541, 24opkelxpk 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c k 1c 1c 1c
46 el1c 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1c
4746biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1c
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1c 1c
4945, 48sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1c k 1c
5044, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 SIk
5150pm4.71ri 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SIk SIk
5242, 51bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 k SIk SIk
5352anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 k SIk Sk SIk Sk
54 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SIk Sk SIk Sk
55 19.41v 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SIk Sk SIk Sk
5654, 55bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SIk Sk SIk Sk
5753, 56bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 k SIk Sk SIk Sk
5857exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 k SIk Sk SIk Sk
59 excom 1741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SIk Sk SIk Sk
60 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 opkeq1 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6261eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SIk SIk
63 opkeq1 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sk Sk
6562, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SIk Sk SIk Sk
66 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SIk Sk Sk SIk
6736, 27opksnelsik 4265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 SIk
6867anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sk SIk Sk
6966, 68bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SIk Sk Sk
7065, 69syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SIk Sk Sk
7160, 70ceqsexv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SIk Sk Sk
7271exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SIk Sk Sk
7358, 59, 723bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 k SIk Sk Sk
74 df-rex 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7540, 73, 743bitr4g 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 k SIk Sk
7635, 75bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14 Sk k k SIk
7727elimak 4259 . . . . . . . . . . . . . 14 k
7876, 77syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . 13 Sk k k SIk k
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 Sk k k SIk k
8033, 79bitrd 244 . . . . . . . . . . 11 Ins3k Sk k k SIk k
8131, 80bibi12d 312 . . . . . . . . . 10 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k
8281notbid 285 . . . . . . . . 9 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k
8323, 82syl5bb 248 . . . . . . . 8 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k
8483exbidv 1626 . . . . . . 7 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k
8522, 84syl5rbb 249 . . . . . 6 k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
866, 85syl5bbr 250 . . . . 5 k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
8786con1bid 320 . . . 4 Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c k
885, 87bitr3d 246 . . 3 k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c k
89 df-imagek 4194 . . . . 5 Imagek k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
9089eleq2i 2417 . . . 4 Imagek k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
91 eldif 3221 . . . 4 k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
9290, 91bitri 240 . . 3 Imagek k Ins2k Sk Ins3k Sk k k SIk k1 1 1c
93 dfcleq 2347 . . 3 k k
9488, 92, 933bitr4g 279 . 2 Imagek k
951, 2, 94syl2an 463 1 Imagek k
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859   cdif 3206   csymdif 3209  csn 3737  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   k ccomk 4180   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194
This theorem is referenced by:  opkelimagek  4272  dfnnc2  4395  nnc0suc  4412  nncaddccl  4419  nnsucelrlem1  4424
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