Theorem ov6g 5600

Description: The value of an operation class abstraction. Special case. (Contributed by set.mm contributors, 13-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ov6g.1	|- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
ov6g.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}

Assertion

Ref	Expression
ov6g	|- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   z,R   x,S,y,z

Allowed substitution hints:   R(x,y)   F(x,y,z)   G(x,y,z)   H(x,y,z)   J(x,y,z)

Proof of Theorem ov6g

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5526	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
2		eqid 2353	. . . . . 6 |- S = S
3		biidd 228	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (S = S <-> S = S))
4	3	copsex2g 4609	. . . . . 6 |- ((A e. G /\ B e. H) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) <-> S = S))
5	2, 4	mpbiri 224	. . . . 5 |- ((A e. G /\ B e. H) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
6	5	3adant3 975	. . . 4 |- ((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
7	6	adantr 451	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
8		eqeq1 2359	. . . . . . . 8 |- (w = <.A, B>. -> (w = <.x, y>. <-> <.A, B>. = <.x, y>.))
9	8	anbi1d 685	. . . . . . 7 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R)))
10		ov6g.1	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
11	10	eqeq2d 2364	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> (z = R <-> z = S))
12	11	eqcoms 2356	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. = <.x, y>. -> (z = R <-> z = S))
13	12	pm5.32i 618	. . . . . . 7 |- ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S))
14	9, 13	syl6bb 252	. . . . . 6 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
15	14	2exbidv 1628	. . . . 5 |- (w = <.A, B>. -> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
16		eqeq1 2359	. . . . . . 7 |- (z = S -> (z = S <-> S = S))
17	16	anbi2d 684	. . . . . 6 |- (z = S -> ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
18	17	2exbidv 1628	. . . . 5 |- (z = S -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
19		moeq 3012	. . . . . . 7 |- E*z z = R
20	19	mosubop 4613	. . . . . 6 |- E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)
21	20	a1i 10	. . . . 5 |- (w e. C -> E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))
22		ov6g.2	. . . . . 6 |- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}
23		dfoprab2 5558	. . . . . 6 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))}
24		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = <.x, y>. -> (w e. C <-> <.x, y>. e. C))
25	24	anbi1d 685	. . . . . . . . . . 11 |- (w = <.x, y>. -> ((w e. C /\ z = R) <-> (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
26	25	pm5.32i 618	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
27		an12 772	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
28	26, 27	bitr3i 242	. . . . . . . . 9 |- ((w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
29	28	2exbii 1583	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
30		19.42vv 1907	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
31	29, 30	bitri 240	. . . . . . 7 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
32	31	opabbii 4626	. . . . . 6 |- {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))} = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
33	22, 23, 32	3eqtri 2377	. . . . 5 |- F = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
34	15, 18, 21, 33	fvopab3ig 5387	. . . 4 |- ((<.A, B>. e. C /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
35	34	3ad2antl3 1119	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
36	7, 35	mpd 14	. 2 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (F` <.A, B>.) = S)
37	1, 36	syl5eq 2397	1 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E*wmo 2205  <.cop 4561  {copab 4622  ` cfv 4781  (class class class)co 5525  {coprab 5527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fv 4795  df-ov 5526  df-oprab 5528

This theorem is referenced by: (None)