NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  preaddccan2 Unicode version

Theorem preaddccan2 4455
Description: Cancellation law for natural addition with a non-null condition. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
preaddccan2 Nn Nn Nn

Proof of Theorem preaddccan2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preaddccan2lem1 4454 . . . . 5 Nn Nn
2 addceq1 4383 . . . . . . . 8 0c 0c
32neeq1d 2529 . . . . . . 7 0c 0c
4 addceq1 4383 . . . . . . . 8 0c 0c
52, 4eqeq12d 2367 . . . . . . 7 0c 0c 0c
63, 5anbi12d 691 . . . . . 6 0c 0c 0c 0c
76imbi1d 308 . . . . 5 0c 0c 0c 0c
8 addceq1 4383 . . . . . . . 8
98neeq1d 2529 . . . . . . 7
10 addceq1 4383 . . . . . . . 8
118, 10eqeq12d 2367 . . . . . . 7
129, 11anbi12d 691 . . . . . 6
1312imbi1d 308 . . . . 5
14 addceq1 4383 . . . . . . . . 9 1c 1c
15 addc32 4416 . . . . . . . . 9 1c 1c
1614, 15syl6eq 2401 . . . . . . . 8 1c 1c
1716neeq1d 2529 . . . . . . 7 1c 1c
18 addceq1 4383 . . . . . . . . 9 1c 1c
19 addc32 4416 . . . . . . . . 9 1c 1c
2018, 19syl6eq 2401 . . . . . . . 8 1c 1c
2116, 20eqeq12d 2367 . . . . . . 7 1c 1c 1c
2217, 21anbi12d 691 . . . . . 6 1c 1c 1c 1c
2322imbi1d 308 . . . . 5 1c 1c 1c 1c
24 addceq1 4383 . . . . . . . 8
2524neeq1d 2529 . . . . . . 7
26 addceq1 4383 . . . . . . . 8
2724, 26eqeq12d 2367 . . . . . . 7
2825, 27anbi12d 691 . . . . . 6
2928imbi1d 308 . . . . 5
30 addcid2 4407 . . . . . . . . 9 0c
31 addcid2 4407 . . . . . . . . 9 0c
3230, 31eqeq12i 2366 . . . . . . . 8 0c 0c
3332biimpi 186 . . . . . . 7 0c 0c
3433adantl 452 . . . . . 6 0c 0c 0c
3534a1i 10 . . . . 5 Nn Nn 0c 0c 0c
36 addcnnul 4453 . . . . . . . . . 10 1c 1c
3736simpld 445 . . . . . . . . 9 1c
3837ad2antrl 708 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1c 1c 1c
39 simpll 730 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1c 1c 1c Nn
40 simplrl 736 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1c 1c 1c Nn
41 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1c 1c 1c Nn
43 simplrr 737 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn 1c 1c 1c Nn
44 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1c 1c 1c Nn
46 simprr 733 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1c 1c 1c 1c 1c
47 simprl 732 . . . . . . . . 9 Nn Nn Nn 1c 1c 1c 1c
48 prepeano4 4451 . . . . . . . . 9 Nn Nn 1c 1c 1c
4942, 45, 46, 47, 48syl22anc 1183 . . . . . . . 8 Nn Nn Nn 1c 1c 1c
5038, 49jca 518 . . . . . . 7 Nn Nn Nn 1c 1c 1c
5150ex 423 . . . . . 6 Nn Nn Nn 1c 1c 1c
5251imim1d 69 . . . . 5 Nn Nn Nn 1c 1c 1c
531, 7, 13, 23, 29, 35, 52findsd 4410 . . . 4 Nn Nn Nn
54533impb 1147 . . 3 Nn Nn Nn
5554expdimp 426 . 2 Nn Nn Nn
56 addceq2 4384 . 2
5755, 56impbid1 194 1 Nn Nn Nn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  cvv 2859  c0 3550  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379
This theorem is referenced by:  ltfinirr  4457  vfin1cltv  4547  addccan2  4559
  Copyright terms: Public domain W3C validator