NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  pw1eqadj Unicode version

Theorem pw1eqadj 4332
Description: A condition for a unit power class to work out to an adjunction. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pw1eqadj.1
pw1eqadj.2
Assertion
Ref Expression
pw1eqadj 1 1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem pw1eqadj
StepHypRef Expression
1 unieq 3900 . . . . 5 1 1
2 unipw1 4325 . . . . 5 1
3 uniun 3910 . . . . 5
41, 2, 33eqtr3g 2408 . . . 4 1
5 pw1eqadj.2 . . . . . . 7
65unisn 3907 . . . . . 6
7 pw1ss1c 4158 . . . . . . . 8 1 1c
8 ssun2 3427 . . . . . . . . . 10
95snid 3760 . . . . . . . . . 10
108, 9sselii 3270 . . . . . . . . 9
11 eleq2 2414 . . . . . . . . 9 1 1
1210, 11mpbiri 224 . . . . . . . 8 1 1
137, 12sseldi 3271 . . . . . . 7 1 1c
14 el1c 4139 . . . . . . . 8 1c
15 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
1615unisn 3907 . . . . . . . . . . . 12
1716sneqi 3745 . . . . . . . . . . 11
1817eqcomi 2357 . . . . . . . . . 10
19 id 19 . . . . . . . . . 10
20 unieq 3900 . . . . . . . . . . 11
2120sneqd 3746 . . . . . . . . . 10
2218, 19, 213eqtr4a 2411 . . . . . . . . 9
2322exlimiv 1634 . . . . . . . 8
2414, 23sylbi 187 . . . . . . 7 1c
2513, 24syl 15 . . . . . 6 1
266, 25syl5eq 2397 . . . . 5 1
2726uneq2d 3418 . . . 4 1
284, 27eqtrd 2385 . . 3 1
29 ssun1 3426 . . . . . 6
30 sseq2 3293 . . . . . 6 1 1
3129, 30mpbiri 224 . . . . 5 1 1
3231, 7syl6ss 3284 . . . 4 1 1c
33 eqpw1uni 4330 . . . 4 1c 1
3432, 33syl 15 . . 3 1 1
35 pw1eqadj.1 . . . . 5
3635uniex 4317 . . . 4
375uniex 4317 . . . 4
38 sneq 3744 . . . . . . 7
39 uneq12 3413 . . . . . . 7
4038, 39sylan2 460 . . . . . 6
4140eqeq2d 2364 . . . . 5
42 pw1eq 4143 . . . . . . 7 1 1
4342eqeq2d 2364 . . . . . 6 1 1
4443adantr 451 . . . . 5 1 1
4538eqeq2d 2364 . . . . . 6
4645adantl 452 . . . . 5
4741, 44, 463anbi123d 1252 . . . 4 1 1
4836, 37, 47spc2ev 2947 . . 3 1 1
4928, 34, 25, 48syl3anc 1182 . 2 1 1
50 pw1un 4163 . . . . 5 1 1 1
51 vex 2862 . . . . . . 7
5251pw1sn 4165 . . . . . 6 1
5352uneq2i 3415 . . . . 5 1 1 1
5450, 53eqtri 2373 . . . 4 1 1
55 pw1eq 4143 . . . . . 6 1 1
56 sneq 3744 . . . . . . 7
57 uneq12 3413 . . . . . . 7 1 1
5856, 57sylan2 460 . . . . . 6 1 1
5955, 58eqeqan12d 2368 . . . . 5 1 1 1 1
60593impb 1147 . . . 4 1 1 1 1
6154, 60mpbiri 224 . . 3 1 1
6261exlimivv 1635 . 2 1 1
6349, 62impbii 180 1 1 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2859   cun 3207   wss 3257  csn 3737  cuni 3891  1cc1c 4134  1 cpw1 4135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193
This theorem is referenced by:  ncfinlower  4483  sfindbl  4530
  Copyright terms: Public domain W3C validator