New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  pw1fnf1o Unicode version

Theorem pw1fnf1o 5855
 Description: Pw1Fn is a one-to-one function with domain 1c and range 1c. (Contributed by SF, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pw1fnf1o Pw1Fn 1c1c

Proof of Theorem pw1fnf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnpw1fn 5853 . 2 Pw1Fn 1c
2 df-pw1fn 5766 . . . 4 Pw1Fn 1c 1
32rnmpt 5686 . . 3 Pw1Fn 1c 1
4 vex 2862 . . . . . . 7
54sspw1 4335 . . . . . 6 1 1
6 df1c2 4168 . . . . . . 7 1c 1
76sseq2i 3296 . . . . . 6 1c 1
8 ssv 3291 . . . . . . . 8
98biantrur 492 . . . . . . 7 1 1
109exbii 1582 . . . . . 6 1 1
115, 7, 103bitr4i 268 . . . . 5 1c 1
124elpw 3728 . . . . 5 1c 1c
13 df-rex 2620 . . . . . 6 1c 1 1c 1
14 el1c 4139 . . . . . . . . 9 1c
1514anbi1i 676 . . . . . . . 8 1c 1 1
16 19.41v 1901 . . . . . . . 8 1 1
1715, 16bitr4i 243 . . . . . . 7 1c 1 1
1817exbii 1582 . . . . . 6 1c 1 1
19 excom 1741 . . . . . . 7 1 1
20 snex 4111 . . . . . . . . 9
21 unieq 3900 . . . . . . . . . . . 12
22 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
2322unisn 3907 . . . . . . . . . . . 12
2421, 23syl6eq 2401 . . . . . . . . . . 11
25 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . 11 1 1
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . 10 1 1
2726eqeq2d 2364 . . . . . . . . 9 1 1
2820, 27ceqsexv 2894 . . . . . . . 8 1 1
2928exbii 1582 . . . . . . 7 1 1
3019, 29bitri 240 . . . . . 6 1 1
3113, 18, 303bitri 262 . . . . 5 1c 1 1
3211, 12, 313bitr4i 268 . . . 4 1c 1c 1
3332abbi2i 2464 . . 3 1c 1c 1
343, 33eqtr4i 2376 . 2 Pw1Fn 1c
35 el1c 4139 . . . . . 6 1c
36 el1c 4139 . . . . . 6 1c
3735, 36anbi12i 678 . . . . 5 1c 1c
38 eeanv 1913 . . . . 5
3937, 38bitr4i 243 . . . 4 1c 1c
40 pw111 4170 . . . . . . . 8 1 1
4140biimpi 186 . . . . . . 7 1 1
4241a1i 10 . . . . . 6 1 1
43 fveq2 5328 . . . . . . . 8 Pw1Fn Pw1Fn
44 vex 2862 . . . . . . . . 9
4544pw1fnval 5851 . . . . . . . 8 Pw1Fn 1
4643, 45syl6eq 2401 . . . . . . 7 Pw1Fn 1
47 fveq2 5328 . . . . . . . 8 Pw1Fn Pw1Fn
48 vex 2862 . . . . . . . . 9
4948pw1fnval 5851 . . . . . . . 8 Pw1Fn 1
5047, 49syl6eq 2401 . . . . . . 7 Pw1Fn 1
5146, 50eqeqan12d 2368 . . . . . 6 Pw1Fn Pw1Fn 1 1
52 eqeq12 2365 . . . . . . 7
5344sneqb 3876 . . . . . . 7
5452, 53syl6bb 252 . . . . . 6
5542, 51, 543imtr4d 259 . . . . 5 Pw1Fn Pw1Fn
5655exlimivv 1635 . . . 4 Pw1Fn Pw1Fn
5739, 56sylbi 187 . . 3 1c 1c Pw1Fn Pw1Fn
5857rgen2a 2680 . 2 1c 1c Pw1Fn Pw1Fn
59 dff1o6 5475 . 2 Pw1Fn 1c1c Pw1Fn 1c Pw1Fn 1c 1c 1c Pw1Fn Pw1Fn
601, 34, 58, 59mpbir3an 1134 1 Pw1Fn 1c1c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   wss 3257  cpw 3722  csn 3737  cuni 3891  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   crn 4773   wfn 4776  wf1o 4780  cfv 4781   Pw1Fn cpw1fn 5765 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-mpt 5652  df-pw1fn 5766 This theorem is referenced by:  enpw1pw  6075
 Copyright terms: Public domain W3C validator