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Theorem vfin1cltv 4547
Description: If the universe is finite, then 1c is strictly smaller than the universe. Theorem X.1.57 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfin1cltv Fin Ncfin 1c Ncfin <fin

Proof of Theorem vfin1cltv
StepHypRef Expression
1 uncompl 4074 . . . . 5 1c ∼ 1c
2 ncfineq 4473 . . . . 5 1c ∼ 1c Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin
4 1cex 4142 . . . . 5 1c
54complex 4104 . . . . . 6 ∼ 1c
6 incompl 4073 . . . . . 6 1c ∼ 1c
7 ncfindi 4475 . . . . . 6 Fin 1c ∼ 1c 1c ∼ 1c Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
85, 6, 7mp3an23 1269 . . . . 5 Fin 1c Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
94, 8mpan2 652 . . . 4 Fin Ncfin 1c ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
103, 9syl5reqr 2400 . . 3 Fin Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin
1110opkeq2d 4066 . 2 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin
12 0nel1c 4159 . . . . . . 7 1c
13 0ex 4110 . . . . . . . 8
1413elcompl 3225 . . . . . . 7 ∼ 1c 1c
1512, 14mpbir 200 . . . . . 6 ∼ 1c
16 n0i 3555 . . . . . 6 ∼ 1c ∼ 1c
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 ∼ 1c
18 ncfinprop 4474 . . . . . . . . 9 Fin ∼ 1c Ncfin ∼ 1c Nn ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
195, 18mpan2 652 . . . . . . . 8 Fin Ncfin ∼ 1c Nn ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
2019simprd 449 . . . . . . 7 Fin ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
21 eleq2 2414 . . . . . . 7 0c Ncfin ∼ 1c ∼ 1c 0c ∼ 1c Ncfin ∼ 1c
2220, 21syl5ibrcom 213 . . . . . 6 Fin 0c Ncfin ∼ 1c ∼ 1c 0c
23 el0c 4421 . . . . . 6 ∼ 1c 0c ∼ 1c
2422, 23syl6ib 217 . . . . 5 Fin 0c Ncfin ∼ 1c ∼ 1c
2517, 24mtoi 169 . . . 4 Fin 0c Ncfin ∼ 1c
26 addcid1 4405 . . . . . 6 Ncfin 1c 0c Ncfin 1c
2726eqeq1i 2360 . . . . 5 Ncfin 1c 0c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
28 ncfinprop 4474 . . . . . . . 8 Fin 1c Ncfin 1c Nn 1c Ncfin 1c
294, 28mpan2 652 . . . . . . 7 Fin Ncfin 1c Nn 1c Ncfin 1c
3029simpld 445 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Nn
31 peano1 4402 . . . . . . 7 0c Nn
3231a1i 10 . . . . . 6 Fin 0c Nn
3319simpld 445 . . . . . 6 Fin Ncfin ∼ 1c Nn
3426a1i 10 . . . . . . 7 Fin Ncfin 1c 0c Ncfin 1c
3529simprd 449 . . . . . . . 8 Fin 1c Ncfin 1c
36 ne0i 3556 . . . . . . . 8 1c Ncfin 1c Ncfin 1c
3735, 36syl 15 . . . . . . 7 Fin Ncfin 1c
3834, 37eqnetrd 2534 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c 0c
39 preaddccan2 4455 . . . . . 6 Ncfin 1c Nn 0c Nn Ncfin ∼ 1c Nn Ncfin 1c 0c Ncfin 1c 0c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c 0c Ncfin ∼ 1c
4030, 32, 33, 38, 39syl31anc 1185 . . . . 5 Fin Ncfin 1c 0c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c 0c Ncfin ∼ 1c
4127, 40syl5bbr 250 . . . 4 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c 0c Ncfin ∼ 1c
4225, 41mtbird 292 . . 3 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
43 ncfinex 4472 . . . . . . 7 Ncfin 1c
44 lefinaddc 4450 . . . . . . 7 Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Nn Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <_fin
4543, 33, 44sylancr 644 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <_fin
46 ncfinex 4472 . . . . . . . . 9 Ncfin ∼ 1c
4743, 46addcex 4394 . . . . . . . 8 Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
48 lefinlteq 4463 . . . . . . . 8 Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <_fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
4943, 47, 48mp3an12 1267 . . . . . . 7 Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <_fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
5037, 49syl 15 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <_fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
5145, 50mpbid 201 . . . . 5 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c
5251orcomd 377 . . . 4 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin
5352ord 366 . . 3 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin
5442, 53mpd 14 . 2 Fin Ncfin 1c Ncfin 1c Ncfin ∼ 1c <fin
5511, 54eqeltrrd 2428 1 Fin Ncfin 1c Ncfin <fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cun 3207   cin 3208  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375   Fin cfin 4376   <_fin clefin 4432   <fin cltfin 4433   Ncfin cncfin 4434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442
This theorem is referenced by:  vfinncvntnn  4548
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