New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  addccan2nc GIF version

 Description: Cancellation law for addition over the cardinal numbers. Biconditional form of theorem XI.3.2 of [Rosser] p. 391. (Contributed by Scott Fenton, 2-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addccan2nc ((M Nn N NC P NC ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addccan2nclem2 6264 . . . 4 ((N NC P NC ) → {x ((x +c N) = (x +c P) → N = P)} V)
2 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = 0c → (x +c N) = (0c +c N))
3 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = 0c → (x +c P) = (0c +c P))
42, 3eqeq12d 2367 . . . . 5 (x = 0c → ((x +c N) = (x +c P) ↔ (0c +c N) = (0c +c P)))
54imbi1d 308 . . . 4 (x = 0c → (((x +c N) = (x +c P) → N = P) ↔ ((0c +c N) = (0c +c P) → N = P)))
6 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = m → (x +c N) = (m +c N))
7 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = m → (x +c P) = (m +c P))
86, 7eqeq12d 2367 . . . . 5 (x = m → ((x +c N) = (x +c P) ↔ (m +c N) = (m +c P)))
98imbi1d 308 . . . 4 (x = m → (((x +c N) = (x +c P) → N = P) ↔ ((m +c N) = (m +c P) → N = P)))
10 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = (m +c 1c) → (x +c N) = ((m +c 1c) +c N))
11 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = (m +c 1c) → (x +c P) = ((m +c 1c) +c P))
1210, 11eqeq12d 2367 . . . . 5 (x = (m +c 1c) → ((x +c N) = (x +c P) ↔ ((m +c 1c) +c N) = ((m +c 1c) +c P)))
1312imbi1d 308 . . . 4 (x = (m +c 1c) → (((x +c N) = (x +c P) → N = P) ↔ (((m +c 1c) +c N) = ((m +c 1c) +c P) → N = P)))
14 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = M → (x +c N) = (M +c N))
15 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = M → (x +c P) = (M +c P))
1614, 15eqeq12d 2367 . . . . 5 (x = M → ((x +c N) = (x +c P) ↔ (M +c N) = (M +c P)))
1716imbi1d 308 . . . 4 (x = M → (((x +c N) = (x +c P) → N = P) ↔ ((M +c N) = (M +c P) → N = P)))
18 addcid2 4407 . . . . . . 7 (0c +c N) = N
19 addcid2 4407 . . . . . . 7 (0c +c P) = P
2018, 19eqeq12i 2366 . . . . . 6 ((0c +c N) = (0c +c P) ↔ N = P)
2120biimpi 186 . . . . 5 ((0c +c N) = (0c +c P) → N = P)
2221a1i 10 . . . 4 ((N NC P NC ) → ((0c +c N) = (0c +c P) → N = P))
23 addc32 4416 . . . . . . 7 ((m +c 1c) +c N) = ((m +c N) +c 1c)
24 addc32 4416 . . . . . . 7 ((m +c 1c) +c P) = ((m +c P) +c 1c)
2523, 24eqeq12i 2366 . . . . . 6 (((m +c 1c) +c N) = ((m +c 1c) +c P) ↔ ((m +c N) +c 1c) = ((m +c P) +c 1c))
26 nnnc 6146 . . . . . . . . . . 11 (m Nnm NC )
27 ncaddccl 6144 . . . . . . . . . . 11 ((m NC N NC ) → (m +c N) NC )
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . 10 ((m Nn N NC ) → (m +c N) NC )
2928adantrr 697 . . . . . . . . 9 ((m Nn (N NC P NC )) → (m +c N) NC )
3029adantr 451 . . . . . . . 8 (((m Nn (N NC P NC )) ((m +c N) = (m +c P) → N = P)) → (m +c N) NC )
31 ncaddccl 6144 . . . . . . . . . . 11 ((m NC P NC ) → (m +c P) NC )
3226, 31sylan 457 . . . . . . . . . 10 ((m Nn P NC ) → (m +c P) NC )
3332adantrl 696 . . . . . . . . 9 ((m Nn (N NC P NC )) → (m +c P) NC )
3433adantr 451 . . . . . . . 8 (((m Nn (N NC P NC )) ((m +c N) = (m +c P) → N = P)) → (m +c P) NC )
35 peano4nc 6150 . . . . . . . . 9 (((m +c N) NC (m +c P) NC ) → (((m +c N) +c 1c) = ((m +c P) +c 1c) ↔ (m +c N) = (m +c P)))
3635biimpd 198 . . . . . . . 8 (((m +c N) NC (m +c P) NC ) → (((m +c N) +c 1c) = ((m +c P) +c 1c) → (m +c N) = (m +c P)))
3730, 34, 36syl2anc 642 . . . . . . 7 (((m Nn (N NC P NC )) ((m +c N) = (m +c P) → N = P)) → (((m +c N) +c 1c) = ((m +c P) +c 1c) → (m +c N) = (m +c P)))
38 simpr 447 . . . . . . 7 (((m Nn (N NC P NC )) ((m +c N) = (m +c P) → N = P)) → ((m +c N) = (m +c P) → N = P))
3937, 38syld 40 . . . . . 6 (((m Nn (N NC P NC )) ((m +c N) = (m +c P) → N = P)) → (((m +c N) +c 1c) = ((m +c P) +c 1c) → N = P))
4025, 39syl5bi 208 . . . . 5 (((m Nn (N NC P NC )) ((m +c N) = (m +c P) → N = P)) → (((m +c 1c) +c N) = ((m +c 1c) +c P) → N = P))
4140ex 423 . . . 4 ((m Nn (N NC P NC )) → (((m +c N) = (m +c P) → N = P) → (((m +c 1c) +c N) = ((m +c 1c) +c P) → N = P)))
421, 5, 9, 13, 17, 22, 41findsd 4410 . . 3 ((M Nn (N NC P NC )) → ((M +c N) = (M +c P) → N = P))
43423impb 1147 . 2 ((M Nn N NC P NC ) → ((M +c N) = (M +c P) → N = P))
44 addceq2 4384 . 2 (N = P → (M +c N) = (M +c P))
4543, 44impbid1 194 1 ((M Nn N NC P NC ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375   NC cncs 6088 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101 This theorem is referenced by:  lecadd2  6266
 Copyright terms: Public domain W3C validator