New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  addlec GIF version

 Description: For non-empty sets, cardinal sum always increases cardinal less than or equal. Theorem XI.2.19 of [Rosser] p. 376. (Contributed by SF, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
addlec ((M V N W (M +c N) ≠ ) → Mc (M +c N))

Proof of Theorem addlec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eladdc 4398 . . . . . . 7 (z (M +c N) ↔ x M y N ((xy) = z = (xy)))
2 ssun1 3426 . . . . . . . . . . 11 x (xy)
3 sseq2 3293 . . . . . . . . . . 11 (z = (xy) → (x zx (xy)))
42, 3mpbiri 224 . . . . . . . . . 10 (z = (xy) → x z)
54adantl 452 . . . . . . . . 9 (((xy) = z = (xy)) → x z)
65rexlimivw 2734 . . . . . . . 8 (y N ((xy) = z = (xy)) → x z)
76reximi 2721 . . . . . . 7 (x M y N ((xy) = z = (xy)) → x M x z)
81, 7sylbi 187 . . . . . 6 (z (M +c N) → x M x z)
98ancli 534 . . . . 5 (z (M +c N) → (z (M +c N) x M x z))
109eximi 1576 . . . 4 (z z (M +c N) → z(z (M +c N) x M x z))
11 n0 3559 . . . 4 ((M +c N) ≠ z z (M +c N))
12 rexcom 2772 . . . . 5 (x M z (M +c N)x zz (M +c N)x M x z)
13 df-rex 2620 . . . . 5 (z (M +c N)x M x zz(z (M +c N) x M x z))
1412, 13bitri 240 . . . 4 (x M z (M +c N)x zz(z (M +c N) x M x z))
1510, 11, 143imtr4i 257 . . 3 ((M +c N) ≠ x M z (M +c N)x z)
16153ad2ant3 978 . 2 ((M V N W (M +c N) ≠ ) → x M z (M +c N)x z)
17 addcexg 4393 . . . 4 ((M V N W) → (M +c N) V)
18 brlecg 6112 . . . 4 ((M V (M +c N) V) → (Mc (M +c N) ↔ x M z (M +c N)x z))
1917, 18syldan 456 . . 3 ((M V N W) → (Mc (M +c N) ↔ x M z (M +c N)x z))
20193adant3 975 . 2 ((M V N W (M +c N) ≠ ) → (Mc (M +c N) ↔ x M z (M +c N)x z))
2116, 20mpbird 223 1 ((M V N W (M +c N) ≠ ) → Mc (M +c N))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550   +c cplc 4375   class class class wbr 4639   ≤c clec 6089 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-lec 6099 This theorem is referenced by:  addlecncs  6209
 Copyright terms: Public domain W3C validator