Theorem addlec 6208

Description: For nonempty sets, cardinal sum always increases cardinal less than or equal. Theorem XI.2.19 of [Rosser] p. 376. (Contributed by SF, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addlec	⊢ ((M ∈ V ∧ N ∈ W ∧ (M +c N) ≠ ∅) → M ≤c (M +c N))

Proof of Theorem addlec

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eladdc 4398	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ (M +c N) ↔ ∃x ∈ M ∃y ∈ N ((x ∩ y) = ∅ ∧ z = (x ∪ y)))
2		ssun1 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ x ⊆ (x ∪ y)
3		sseq2 3293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = (x ∪ y) → (x ⊆ z ↔ x ⊆ (x ∪ y)))
4	2, 3	mpbiri 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = (x ∪ y) → x ⊆ z)
5	4	adantl 452	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∩ y) = ∅ ∧ z = (x ∪ y)) → x ⊆ z)
6	5	rexlimivw 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y ∈ N ((x ∩ y) = ∅ ∧ z = (x ∪ y)) → x ⊆ z)
7	6	reximi 2721	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ M ∃y ∈ N ((x ∩ y) = ∅ ∧ z = (x ∪ y)) → ∃x ∈ M x ⊆ z)
8	1, 7	sylbi 187	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ (M +c N) → ∃x ∈ M x ⊆ z)
9	8	ancli 534	. . . . 5 ⊢ (z ∈ (M +c N) → (z ∈ (M +c N) ∧ ∃x ∈ M x ⊆ z))
10	9	eximi 1576	. . . 4 ⊢ (∃z z ∈ (M +c N) → ∃z(z ∈ (M +c N) ∧ ∃x ∈ M x ⊆ z))
11		n0 3559	. . . 4 ⊢ ((M +c N) ≠ ∅ ↔ ∃z z ∈ (M +c N))
12		rexcom 2772	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z ↔ ∃z ∈ (M +c N)∃x ∈ M x ⊆ z)
13		df-rex 2620	. . . . 5 ⊢ (∃z ∈ (M +c N)∃x ∈ M x ⊆ z ↔ ∃z(z ∈ (M +c N) ∧ ∃x ∈ M x ⊆ z))
14	12, 13	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z ↔ ∃z(z ∈ (M +c N) ∧ ∃x ∈ M x ⊆ z))
15	10, 11, 14	3imtr4i 257	. . 3 ⊢ ((M +c N) ≠ ∅ → ∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z)
16	15	3ad2ant3 978	. 2 ⊢ ((M ∈ V ∧ N ∈ W ∧ (M +c N) ≠ ∅) → ∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z)
17		addcexg 4393	. . . 4 ⊢ ((M ∈ V ∧ N ∈ W) → (M +c N) ∈ V)
18		brlecg 6112	. . . 4 ⊢ ((M ∈ V ∧ (M +c N) ∈ V) → (M ≤c (M +c N) ↔ ∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z))
19	17, 18	syldan 456	. . 3 ⊢ ((M ∈ V ∧ N ∈ W) → (M ≤c (M +c N) ↔ ∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z))
20	19	3adant3 975	. 2 ⊢ ((M ∈ V ∧ N ∈ W ∧ (M +c N) ≠ ∅) → (M ≤c (M +c N) ↔ ∃x ∈ M ∃z ∈ (M +c N)x ⊆ z))
21	16, 20	mpbird 223	1 ⊢ ((M ∈ V ∧ N ∈ W ∧ (M +c N) ≠ ∅) → M ≤c (M +c N))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550   +_c cplc 4375   class class class wbr 4639   ≤_c clec 6089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-lec 6099

This theorem is referenced by:  addlecncs  6209