New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  bren GIF version

Theorem bren 6030
 Description: Equinumerosity relationship. (Contributed by SF, 23-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
bren (ABf f:A1-1-ontoB)
Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem bren
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brex 4689 . 2 (AB → (A V B V))
2 vex 2862 . . . . . 6 f V
32dmex 5106 . . . . 5 dom f V
42rnex 5107 . . . . 5 ran f V
53, 4pm3.2i 441 . . . 4 (dom f V ran f V)
6 f1odm 5290 . . . . . 6 (f:A1-1-ontoB → dom f = A)
76eleq1d 2419 . . . . 5 (f:A1-1-ontoB → (dom f V ↔ A V))
8 f1ofo 5293 . . . . . . 7 (f:A1-1-ontoBf:AontoB)
9 forn 5272 . . . . . . 7 (f:AontoB → ran f = B)
108, 9syl 15 . . . . . 6 (f:A1-1-ontoB → ran f = B)
1110eleq1d 2419 . . . . 5 (f:A1-1-ontoB → (ran f V ↔ B V))
127, 11anbi12d 691 . . . 4 (f:A1-1-ontoB → ((dom f V ran f V) ↔ (A V B V)))
135, 12mpbii 202 . . 3 (f:A1-1-ontoB → (A V B V))
1413exlimiv 1634 . 2 (f f:A1-1-ontoB → (A V B V))
15 f1oeq2 5282 . . . 4 (x = A → (f:x1-1-ontoyf:A1-1-ontoy))
1615exbidv 1626 . . 3 (x = A → (f f:x1-1-ontoyf f:A1-1-ontoy))
17 f1oeq3 5283 . . . 4 (y = B → (f:A1-1-ontoyf:A1-1-ontoB))
1817exbidv 1626 . . 3 (y = B → (f f:A1-1-ontoyf f:A1-1-ontoB))
19 df-en 6029 . . 3 ≈ = {x, y f f:x1-1-ontoy}
2016, 18, 19brabg 4706 . 2 ((A V B V) → (ABf f:A1-1-ontoB))
211, 14, 20pm5.21nii 342 1 (ABf f:A1-1-ontoB)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639  dom cdm 4772  ran crn 4773  –onto→wfo 4779  –1-1-onto→wf1o 4780   ≈ cen 6028 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-swap 4724  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-en 6029 This theorem is referenced by:  f1oeng  6032  ensymi  6036  entr  6038  en0  6042  unen  6048  xpen  6055  enpw1  6062  enmap2  6068  enmap1  6074  nenpw1pwlem2  6085  ncdisjun  6136  1cnc  6139  sbthlem3  6205  nclenc  6222  lenc  6223
 Copyright terms: Public domain W3C validator