Theorem cador 1391

Description: Write the adder carry in disjunctive normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cador	⊢ (cadd(φ, ψ, χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)))

Proof of Theorem cador

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cad 1381	. 2 ⊢ (cadd(φ, ψ, χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (χ ∧ (φ ⊻ ψ))))
2		xor2 1310	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ⊻ ψ) ↔ ((φ ∨ ψ) ∧ ¬ (φ ∧ ψ)))
3	2	rbaib 873	. . . . . 6 ⊢ (¬ (φ ∧ ψ) → ((φ ⊻ ψ) ↔ (φ ∨ ψ)))
4	3	anbi1d 685	. . . . 5 ⊢ (¬ (φ ∧ ψ) → (((φ ⊻ ψ) ∧ χ) ↔ ((φ ∨ ψ) ∧ χ)))
5		ancom 437	. . . . 5 ⊢ (((φ ⊻ ψ) ∧ χ) ↔ (χ ∧ (φ ⊻ ψ)))
6		andir 838	. . . . 5 ⊢ (((φ ∨ ψ) ∧ χ) ↔ ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)))
7	4, 5, 6	3bitr3g 278	. . . 4 ⊢ (¬ (φ ∧ ψ) → ((χ ∧ (φ ⊻ ψ)) ↔ ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ))))
8	7	pm5.74i 236	. . 3 ⊢ ((¬ (φ ∧ ψ) → (χ ∧ (φ ⊻ ψ))) ↔ (¬ (φ ∧ ψ) → ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ))))
9		df-or 359	. . 3 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∨ (χ ∧ (φ ⊻ ψ))) ↔ (¬ (φ ∧ ψ) → (χ ∧ (φ ⊻ ψ))))
10		3orass 937	. . . 4 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ))))
11		df-or 359	. . . 4 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∨ ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ))) ↔ (¬ (φ ∧ ψ) → ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ))))
12	10, 11	bitri 240	. . 3 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)) ↔ (¬ (φ ∧ ψ) → ((φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ))))
13	8, 9, 12	3bitr4i 268	. 2 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∨ (χ ∧ (φ ⊻ ψ))) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)))
14	1, 13	bitri 240	1 ⊢ (cadd(φ, ψ, χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   ∨ w3o 933   ⊻ wxo 1304  caddwcad 1379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-xor 1305  df-cad 1381

This theorem is referenced by:  cadan  1392  cadnot  1394  cadcomb  1396