New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ce0nnulb GIF version

Theorem ce0nnulb 6182
 Description: Cardinal exponentiation is non-empty iff the two sets raised to zero are non-empty. Theorem XI.2.47 of [Rosser] p. 384. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ce0nnulb ((N NC M NC ) → (((Nc 0c) ≠ (Mc 0c) ≠ ) ↔ (Nc M) ≠ ))

Proof of Theorem ce0nnulb
Dummy variables a b g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ce0nnul 6177 . . . 4 (N NC → ((Nc 0c) ≠ a1a N))
2 ce0nnul 6177 . . . 4 (M NC → ((Mc 0c) ≠ b1b M))
31, 2bi2anan9 843 . . 3 ((N NC M NC ) → (((Nc 0c) ≠ (Mc 0c) ≠ ) ↔ (a1a N b1b M)))
4 eeanv 1913 . . 3 (ab(1a N 1b M) ↔ (a1a N b1b M))
53, 4syl6bbr 254 . 2 ((N NC M NC ) → (((Nc 0c) ≠ (Mc 0c) ≠ ) ↔ ab(1a N 1b M)))
6 ncseqnc 6128 . . . . . 6 (N NC → (N = Nc 1a1a N))
7 ncseqnc 6128 . . . . . 6 (M NC → (M = Nc 1b1b M))
86, 7bi2anan9 843 . . . . 5 ((N NC M NC ) → ((N = Nc 1a M = Nc 1b) ↔ (1a N 1b M)))
9 vex 2862 . . . . . . . 8 a V
10 vex 2862 . . . . . . . 8 b V
119, 10cenc 6181 . . . . . . 7 ( Nc 1ac Nc 1b) = Nc (am b)
12 ovex 5551 . . . . . . . . 9 (am b) V
1312ncid 6123 . . . . . . . 8 (am b) Nc (am b)
14 ne0i 3556 . . . . . . . 8 ((am b) Nc (am b) → Nc (am b) ≠ )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7 Nc (am b) ≠
1611, 15eqnetri 2533 . . . . . 6 ( Nc 1ac Nc 1b) ≠
17 oveq12 5532 . . . . . . 7 ((N = Nc 1a M = Nc 1b) → (Nc M) = ( Nc 1ac Nc 1b))
1817neeq1d 2529 . . . . . 6 ((N = Nc 1a M = Nc 1b) → ((Nc M) ≠ ↔ ( Nc 1ac Nc 1b) ≠ ))
1916, 18mpbiri 224 . . . . 5 ((N = Nc 1a M = Nc 1b) → (Nc M) ≠ )
208, 19syl6bir 220 . . . 4 ((N NC M NC ) → ((1a N 1b M) → (Nc M) ≠ ))
2120exlimdvv 1637 . . 3 ((N NC M NC ) → (ab(1a N 1b M) → (Nc M) ≠ ))
22 n0 3559 . . . 4 ((Nc M) ≠ g g (Nc M))
23 elce 6175 . . . . . 6 ((N NC M NC ) → (g (Nc M) ↔ ab(1a N 1b M g ≈ (am b))))
24 3simpa 952 . . . . . . 7 ((1a N 1b M g ≈ (am b)) → (1a N 1b M))
25242eximi 1577 . . . . . 6 (ab(1a N 1b M g ≈ (am b)) → ab(1a N 1b M))
2623, 25syl6bi 219 . . . . 5 ((N NC M NC ) → (g (Nc M) → ab(1a N 1b M)))
2726exlimdv 1636 . . . 4 ((N NC M NC ) → (g g (Nc M) → ab(1a N 1b M)))
2822, 27syl5bi 208 . . 3 ((N NC M NC ) → ((Nc M) ≠ ab(1a N 1b M)))
2921, 28impbid 183 . 2 ((N NC M NC ) → (ab(1a N 1b M) ↔ (Nc M) ≠ ))
305, 29bitrd 244 1 ((N NC M NC ) → (((Nc 0c) ≠ (Mc 0c) ≠ ) ↔ (Nc M) ≠ ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∅c0 3550  ℘1cpw1 4135  0cc0c 4374   class class class wbr 4639  (class class class)co 5525   ↑m cmap 5999   ≈ cen 6028   NC cncs 6088   Nc cnc 6091   ↑c cce 6096 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-ce 6106 This theorem is referenced by:  ceclb  6183
 Copyright terms: Public domain W3C validator