New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  cupex GIF version

Theorem cupex 5816
 Description: The little cup function is a set. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cupex Cup V

Proof of Theorem cupex
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cup 5742 . . 3 Cup = (x V, y V (xy))
2 vex 2862 . . . . . . . 8 y V
32otelins3 5792 . . . . . . 7 ({z}, x, y Ins3 S {z}, x S )
4 vex 2862 . . . . . . . 8 z V
5 vex 2862 . . . . . . . 8 x V
64, 5opelssetsn 4760 . . . . . . 7 ({z}, x S z x)
73, 6bitri 240 . . . . . 6 ({z}, x, y Ins3 S z x)
85otelins2 5791 . . . . . . 7 ({z}, x, y Ins2 S {z}, y S )
94, 2opelssetsn 4760 . . . . . . 7 ({z}, y S z y)
108, 9bitri 240 . . . . . 6 ({z}, x, y Ins2 S z y)
117, 10orbi12i 507 . . . . 5 (({z}, x, y Ins3 S {z}, x, y Ins2 S ) ↔ (z x z y))
12 elun 3220 . . . . 5 ({z}, x, y ( Ins3 S Ins2 S ) ↔ ({z}, x, y Ins3 S {z}, x, y Ins2 S ))
13 elun 3220 . . . . 5 (z (xy) ↔ (z x z y))
1411, 12, 133bitr4i 268 . . . 4 ({z}, x, y ( Ins3 S Ins2 S ) ↔ z (xy))
1514releqmpt2 5809 . . 3 (((V × V) × V) (( Ins2 S Ins3 ( Ins3 S Ins2 S )) “ 1c)) = (x V, y V (xy))
161, 15eqtr4i 2376 . 2 Cup = (((V × V) × V) (( Ins2 S Ins3 ( Ins3 S Ins2 S )) “ 1c))
17 vvex 4109 . . 3 V V
18 ssetex 4744 . . . . 5 S V
1918ins3ex 5798 . . . 4 Ins3 S V
2018ins2ex 5797 . . . 4 Ins2 S V
2119, 20unex 4106 . . 3 ( Ins3 S Ins2 S ) V
2217, 17, 21mpt2exlem 5811 . 2 (((V × V) × V) (( Ins2 S Ins3 ( Ins3 S Ins2 S )) “ 1c)) V
2316, 22eqeltri 2423 1 Cup V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∨ wo 357   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   ∖ cdif 3206   ∪ cun 3207   ⊕ csymdif 3209  {csn 3737  1cc1c 4134  ⟨cop 4561   S csset 4719   “ cima 4722   × cxp 4770   ↦ cmpt2 5653   Cup ccup 5741   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-oprab 5528  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-ins2 5750  df-ins3 5752 This theorem is referenced by:  addcfnex  5824
 Copyright terms: Public domain W3C validator