New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  disjex GIF version

Theorem disjex 5823
 Description: The disjointedness relationship is a set. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
disjex Disj V

Proof of Theorem disjex
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 5744 . . 3 Disj = {x, y (xy) = }
2 oteltxp 5782 . . . . . . . . . 10 ({z}, x, y ( S S ) ↔ ({z}, x S {z}, y S ))
3 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12 z V
4 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12 x V
53, 4opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . 11 ({z}, x S z x)
6 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12 y V
73, 6opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . 11 ({z}, y S z y)
85, 7anbi12i 678 . . . . . . . . . 10 (({z}, x S {z}, y S ) ↔ (z x z y))
92, 8bitri 240 . . . . . . . . 9 ({z}, x, y ( S S ) ↔ (z x z y))
109exbii 1582 . . . . . . . 8 (z{z}, x, y ( S S ) ↔ z(z x z y))
11 elima1c 4947 . . . . . . . 8 (x, y (( S S ) “ 1c) ↔ z{z}, x, y ( S S ))
12 df-rex 2620 . . . . . . . 8 (z x z yz(z x z y))
1310, 11, 123bitr4i 268 . . . . . . 7 (x, y (( S S ) “ 1c) ↔ z x z y)
14 dfrex2 2627 . . . . . . 7 (z x z y ↔ ¬ z x ¬ z y)
1513, 14bitri 240 . . . . . 6 (x, y (( S S ) “ 1c) ↔ ¬ z x ¬ z y)
1615con2bii 322 . . . . 5 (z x ¬ z y ↔ ¬ x, y (( S S ) “ 1c))
17 disj 3591 . . . . 5 ((xy) = z x ¬ z y)
184, 6opex 4588 . . . . . 6 x, y V
1918elcompl 3225 . . . . 5 (x, y ∼ (( S S ) “ 1c) ↔ ¬ x, y (( S S ) “ 1c))
2016, 17, 193bitr4ri 269 . . . 4 (x, y ∼ (( S S ) “ 1c) ↔ (xy) = )
2120opabbi2i 4866 . . 3 ∼ (( S S ) “ 1c) = {x, y (xy) = }
221, 21eqtr4i 2376 . 2 Disj = ∼ (( S S ) “ 1c)
23 ssetex 4744 . . . . 5 S V
2423, 23txpex 5785 . . . 4 ( S S ) V
25 1cex 4142 . . . 4 1c V
2624, 25imaex 4747 . . 3 (( S S ) “ 1c) V
2726complex 4104 . 2 ∼ (( S S ) “ 1c) V
2822, 27eqeltri 2423 1 Disj V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  {csn 3737  1cc1c 4134  ⟨cop 4561  {copab 4622   S csset 4719   “ cima 4722   ⊗ ctxp 5735   Disj cdisj 5743 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-disj 5744 This theorem is referenced by:  addcfnex  5824
 Copyright terms: Public domain W3C validator