New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  dmfrec GIF version

Theorem dmfrec 6316
 Description: The domain of the finite recursive function generator is the naturals. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmfrec.1 F = FRec (G, I)
dmfrec.2 (φG V)
dmfrec.3 (φI dom G)
dmfrec.4 (φ → ran G dom G)
Assertion
Ref Expression
dmfrec (φ → dom F = Nn )

Proof of Theorem dmfrec
Dummy variables w x y z t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmfrec.2 . . . 4 (φG V)
2 dmfrec.1 . . . . 5 F = FRec (G, I)
32frecxpg 6315 . . . 4 (G VF ( Nn × (ran G ∪ {I})))
4 dmss 4906 . . . 4 (F ( Nn × (ran G ∪ {I})) → dom F dom ( Nn × (ran G ∪ {I})))
51, 3, 43syl 18 . . 3 (φ → dom F dom ( Nn × (ran G ∪ {I})))
6 dmxpss 5052 . . 3 dom ( Nn × (ran G ∪ {I})) Nn
75, 6syl6ss 3284 . 2 (φ → dom F Nn )
82frecexg 6312 . . . . 5 (G VF V)
91, 8syl 15 . . . 4 (φF V)
10 dmexg 5105 . . . 4 (F V → dom F V)
119, 10syl 15 . . 3 (φ → dom F V)
12 dmfrec.3 . . . . . . . 8 (φI dom G)
13 0cex 4392 . . . . . . . . 9 0c V
14 opexg 4587 . . . . . . . . 9 ((0c V I dom G) → 0c, I V)
1513, 14mpan 651 . . . . . . . 8 (I dom G0c, I V)
1612, 15syl 15 . . . . . . 7 (φ0c, I V)
17 snidg 3758 . . . . . . 7 (0c, I V → 0c, I {0c, I})
1816, 17syl 15 . . . . . 6 (φ0c, I {0c, I})
1918orcd 381 . . . . 5 (φ → (0c, I {0c, I} t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, I))
20 snex 4111 . . . . . 6 {0c, I} V
21 csucex 6259 . . . . . . . 8 (w V (w +c 1c)) V
22 pprodexg 5837 . . . . . . . 8 (((w V (w +c 1c)) V G V) → PProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
2321, 22mpan 651 . . . . . . 7 (G VPProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
241, 23syl 15 . . . . . 6 (φPProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
25 df-frec 6310 . . . . . . . 8 FRec (G, I) = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
262, 25eqtri 2373 . . . . . . 7 F = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
2726clos1basesucg 5884 . . . . . 6 (({0c, I} V PProd ((w V (w +c 1c)), G) V) → (0c, I F ↔ (0c, I {0c, I} t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, I)))
2820, 24, 27sylancr 644 . . . . 5 (φ → (0c, I F ↔ (0c, I {0c, I} t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, I)))
2919, 28mpbird 223 . . . 4 (φ0c, I F)
30 opeldm 4910 . . . 4 (0c, I F → 0c dom F)
3129, 30syl 15 . . 3 (φ → 0c dom F)
32 eldm2 4899 . . . . 5 (x dom Fyx, y F)
3326clos1basesucg 5884 . . . . . . . . . 10 (({0c, I} V PProd ((w V (w +c 1c)), G) V) → (x, y F ↔ (x, y {0c, I} t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y)))
3420, 24, 33sylancr 644 . . . . . . . . 9 (φ → (x, y F ↔ (x, y {0c, I} t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y)))
35 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 x V
36 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 y V
3735, 36opex 4588 . . . . . . . . . . . . . 14 x, y V
3837elsnc 3756 . . . . . . . . . . . . 13 (x, y {0c, I} ↔ x, y = 0c, I)
39 opth 4602 . . . . . . . . . . . . 13 (x, y = 0c, I ↔ (x = 0c y = I))
4038, 39bitri 240 . . . . . . . . . . . 12 (x, y {0c, I} ↔ (x = 0c y = I))
4140simprbi 450 . . . . . . . . . . 11 (x, y {0c, I} → y = I)
42 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . 13 (y = I → (y dom GI dom G))
4342biimprcd 216 . . . . . . . . . . . 12 (I dom G → (y = Iy dom G))
4412, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11 (φ → (y = Iy dom G))
4541, 44syl5 28 . . . . . . . . . 10 (φ → (x, y {0c, I} → y dom G))
46 opeq 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t = Proj1 t, Proj2 t
4746breq1i 4646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y Proj1 t, Proj2 t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y)
48 qrpprod 5836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( Proj1 t, Proj2 t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y ↔ ( Proj1 t(w V (w +c 1c))x Proj2 tGy))
4947, 48bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y ↔ ( Proj1 t(w V (w +c 1c))x Proj2 tGy))
5049simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y Proj2 tGy)
51 brelrn 4960 . . . . . . . . . . . . . 14 ( Proj2 tGyy ran G)
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 (t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, yy ran G)
53 dmfrec.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (φ → ran G dom G)
5453sseld 3272 . . . . . . . . . . . . 13 (φ → (y ran Gy dom G))
5552, 54syl5 28 . . . . . . . . . . . 12 (φ → (t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, yy dom G))
5655adantr 451 . . . . . . . . . . 11 ((φ t F) → (t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, yy dom G))
5756rexlimdva 2738 . . . . . . . . . 10 (φ → (t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, yy dom G))
5845, 57jaod 369 . . . . . . . . 9 (φ → ((x, y {0c, I} t F t PProd ((w V (w +c 1c)), G)x, y) → y dom G))
5934, 58sylbid 206 . . . . . . . 8 (φ → (x, y Fy dom G))
6059ancld 536 . . . . . . 7 (φ → (x, y F → (x, y F y dom G)))
6126clos1conn 5879 . . . . . . . . 9 ((x, y F x, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z) → (x +c 1c), z F)
6261eximi 1576 . . . . . . . 8 (z(x, y F x, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z) → z(x +c 1c), z F)
63 eldm 4898 . . . . . . . . . . 11 (y dom Gz yGz)
64 eqid 2353 . . . . . . . . . . . . . 14 (x +c 1c) = (x +c 1c)
65 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c V
6635, 65addcex 4394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x +c 1c) V
6735, 66brcsuc 6260 . . . . . . . . . . . . . 14 (x(w V (w +c 1c))(x +c 1c) ↔ (x +c 1c) = (x +c 1c))
6864, 67mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13 x(w V (w +c 1c))(x +c 1c)
69 qrpprod 5836 . . . . . . . . . . . . 13 (x, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z ↔ (x(w V (w +c 1c))(x +c 1c) yGz))
7068, 69mpbiran 884 . . . . . . . . . . . 12 (x, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), zyGz)
7170exbii 1582 . . . . . . . . . . 11 (zx, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), zz yGz)
7263, 71bitr4i 243 . . . . . . . . . 10 (y dom Gzx, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z)
7372anbi2i 675 . . . . . . . . 9 ((x, y F y dom G) ↔ (x, y F zx, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z))
74 19.42v 1905 . . . . . . . . 9 (z(x, y F x, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z) ↔ (x, y F zx, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z))
7573, 74bitr4i 243 . . . . . . . 8 ((x, y F y dom G) ↔ z(x, y F x, y PProd ((w V (w +c 1c)), G)(x +c 1c), z))
76 eldm2 4899 . . . . . . . 8 ((x +c 1c) dom Fz(x +c 1c), z F)
7762, 75, 763imtr4i 257 . . . . . . 7 ((x, y F y dom G) → (x +c 1c) dom F)
7860, 77syl6 29 . . . . . 6 (φ → (x, y F → (x +c 1c) dom F))
7978exlimdv 1636 . . . . 5 (φ → (yx, y F → (x +c 1c) dom F))
8032, 79syl5bi 208 . . . 4 (φ → (x dom F → (x +c 1c) dom F))
8180ralrimivw 2698 . . 3 (φx Nn (x dom F → (x +c 1c) dom F))
82 peano5 4409 . . 3 ((dom F V 0c dom F x Nn (x dom F → (x +c 1c) dom F)) → Nn dom F)
8311, 31, 81, 82syl3anc 1182 . 2 (φNn dom F)
847, 83eqssd 3289 1 (φ → dom F = Nn )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ⊆ wss 3257  {csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375  ⟨cop 4561   Proj1 cproj1 4563   Proj2 cproj2 4564   class class class wbr 4639   × cxp 4770  dom cdm 4772  ran crn 4773   ↦ cmpt 5651   PProd cpprod 5737   Clos1 cclos1 5872   FRec cfrec 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-clos1 5873  df-frec 6310 This theorem is referenced by:  fnfreclem3  6319  fnfrec  6320  frecsuc  6322
 Copyright terms: Public domain W3C validator