NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  dmin GIF version

Theorem dmin 4913
Description: The domain of an intersection belong to the intersection of domains. Theorem 6 of [Suppes] p. 60. (Contributed by set.mm contributors, 15-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmin dom (AB) (dom A ∩ dom B)

Proof of Theorem dmin
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.40 1609 . . 3 (y(x, y A x, y B) → (yx, y A yx, y B))
2 eldm2 4899 . . . 4 (x dom (AB) ↔ yx, y (AB))
3 elin 3219 . . . . 5 (x, y (AB) ↔ (x, y A x, y B))
43exbii 1582 . . . 4 (yx, y (AB) ↔ y(x, y A x, y B))
52, 4bitri 240 . . 3 (x dom (AB) ↔ y(x, y A x, y B))
6 elin 3219 . . . 4 (x (dom A ∩ dom B) ↔ (x dom A x dom B))
7 eldm2 4899 . . . . 5 (x dom Ayx, y A)
8 eldm2 4899 . . . . 5 (x dom Byx, y B)
97, 8anbi12i 678 . . . 4 ((x dom A x dom B) ↔ (yx, y A yx, y B))
106, 9bitri 240 . . 3 (x (dom A ∩ dom B) ↔ (yx, y A yx, y B))
111, 5, 103imtr4i 257 . 2 (x dom (AB) → x (dom A ∩ dom B))
1211ssriv 3277 1 dom (AB) (dom A ∩ dom B)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wa 358  wex 1541   wcel 1710  cin 3208   wss 3257  cop 4561  dom cdm 4772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787
This theorem is referenced by:  rnin  5037
  Copyright terms: Public domain W3C validator