New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  elce GIF version

Theorem elce 6175
 Description: Membership in cardinal exponentiation. Theorem XI.2.38 of [Rosser] p. 382. (Contributed by SF, 6-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elce ((N NC M NC ) → (A (Nc M) ↔ xy(1x N 1y M A ≈ (xm y))))
Distinct variable groups:   x,A,y   x,M,y   x,N,y

Proof of Theorem elce
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2867 . . 3 (A (Nc M) → A V)
21a1i 10 . 2 ((N NC M NC ) → (A (Nc M) → A V))
3 brex 4689 . . . . . 6 (A ≈ (xm y) → (A V (xm y) V))
43simpld 445 . . . . 5 (A ≈ (xm y) → A V)
543ad2ant3 978 . . . 4 ((1x N 1y M A ≈ (xm y)) → A V)
65exlimivv 1635 . . 3 (xy(1x N 1y M A ≈ (xm y)) → A V)
76a1i 10 . 2 ((N NC M NC ) → (xy(1x N 1y M A ≈ (xm y)) → A V))
8 ovce 6172 . . . . 5 ((N NC M NC ) → (Nc M) = {g xy(1x N 1y M g ≈ (xm y))})
98eleq2d 2420 . . . 4 ((N NC M NC ) → (A (Nc M) ↔ A {g xy(1x N 1y M g ≈ (xm y))}))
10 breq1 4642 . . . . . . 7 (g = A → (g ≈ (xm y) ↔ A ≈ (xm y)))
11103anbi3d 1258 . . . . . 6 (g = A → ((1x N 1y M g ≈ (xm y)) ↔ (1x N 1y M A ≈ (xm y))))
12112exbidv 1628 . . . . 5 (g = A → (xy(1x N 1y M g ≈ (xm y)) ↔ xy(1x N 1y M A ≈ (xm y))))
1312elabg 2986 . . . 4 (A V → (A {g xy(1x N 1y M g ≈ (xm y))} ↔ xy(1x N 1y M A ≈ (xm y))))
149, 13sylan9bb 680 . . 3 (((N NC M NC ) A V) → (A (Nc M) ↔ xy(1x N 1y M A ≈ (xm y))))
1514ex 423 . 2 ((N NC M NC ) → (A V → (A (Nc M) ↔ xy(1x N 1y M A ≈ (xm y)))))
162, 7, 15pm5.21ndd 343 1 ((N NC M NC ) → (A (Nc M) ↔ xy(1x N 1y M A ≈ (xm y))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2859  ℘1cpw1 4135   class class class wbr 4639  (class class class)co 5525   ↑m cmap 5999   ≈ cen 6028   NC cncs 6088   ↑c cce 6096 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-map 6001  df-en 6029  df-ce 6106 This theorem is referenced by:  ce0nnul  6177  cenc  6181  ce0nnulb  6182  fce  6188
 Copyright terms: Public domain W3C validator