Theorem elimapw1 4944

Description: Membership in an image under a unit power class. (Contributed by set.mm contributors, 19-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elimapw1	⊢ (A ∈ (B “ ℘1C) ↔ ∃x ∈ C ⟨{x}, A⟩ ∈ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C

Proof of Theorem elimapw1

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima 4754	. 2 ⊢ (A ∈ (B “ ℘1C) ↔ ∃t ∈ ℘1 CtBA)
2		df-rex 2620	. . . . 5 ⊢ (∃t ∈ ℘1 CtBA ↔ ∃t(t ∈ ℘1C ∧ tBA))
3		elpw1 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ (t ∈ ℘1C ↔ ∃x ∈ C t = {x})
4	3	anbi1i 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((t ∈ ℘1C ∧ tBA) ↔ (∃x ∈ C t = {x} ∧ tBA))
5		r19.41v 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x ∈ C (t = {x} ∧ tBA) ↔ (∃x ∈ C t = {x} ∧ tBA))
6	4, 5	bitr4i 243	. . . . . . 7 ⊢ ((t ∈ ℘1C ∧ tBA) ↔ ∃x ∈ C (t = {x} ∧ tBA))
7	6	exbii 1582	. . . . . 6 ⊢ (∃t(t ∈ ℘1C ∧ tBA) ↔ ∃t∃x ∈ C (t = {x} ∧ tBA))
8		rexcom4 2878	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ C ∃t(t = {x} ∧ tBA) ↔ ∃t∃x ∈ C (t = {x} ∧ tBA))
9	7, 8	bitr4i 243	. . . . 5 ⊢ (∃t(t ∈ ℘1C ∧ tBA) ↔ ∃x ∈ C ∃t(t = {x} ∧ tBA))
10	2, 9	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃t ∈ ℘1 CtBA ↔ ∃x ∈ C ∃t(t = {x} ∧ tBA))
11		snex 4111	. . . . . 6 ⊢ {x} ∈ V
12		breq1 4642	. . . . . 6 ⊢ (t = {x} → (tBA ↔ {x}BA))
13	11, 12	ceqsexv 2894	. . . . 5 ⊢ (∃t(t = {x} ∧ tBA) ↔ {x}BA)
14	13	rexbii 2639	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ C ∃t(t = {x} ∧ tBA) ↔ ∃x ∈ C {x}BA)
15	10, 14	bitri 240	. . 3 ⊢ (∃t ∈ ℘1 CtBA ↔ ∃x ∈ C {x}BA)
16		df-br 4640	. . . 4 ⊢ ({x}BA ↔ ⟨{x}, A⟩ ∈ B)
17	16	rexbii 2639	. . 3 ⊢ (∃x ∈ C {x}BA ↔ ∃x ∈ C ⟨{x}, A⟩ ∈ B)
18	15, 17	bitri 240	. 2 ⊢ (∃t ∈ ℘1 CtBA ↔ ∃x ∈ C ⟨{x}, A⟩ ∈ B)
19	1, 18	bitri 240	1 ⊢ (A ∈ (B “ ℘1C) ↔ ∃x ∈ C ⟨{x}, A⟩ ∈ B)

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  {csn 3737  ℘₁cpw1 4135  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639   “ cima 4722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-br 4640  df-ima 4727

This theorem is referenced by:  elimapw12  4945  elima1c  4947  elimapw11c  4948  otsnelsi3  5805  qsexg  5982