New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  enmap2lem4 GIF version

Theorem enmap2lem4 6066
 Description: Lemma for enmap2 6068. The converse of W is a function. (Contributed by SF, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
enmap2lem4.1 W = (s (Gm a) (s r))
Assertion
Ref Expression
enmap2lem4 (r:a1-1-ontob → Fun W)
Distinct variable groups:   s,a   G,s   s,r
Allowed substitution hints:   G(r,a,b)   W(s,r,a,b)

Proof of Theorem enmap2lem4
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enmap2lem4.1 . . . . . . 7 W = (s (Gm a) (s r))
21enmap2lem3 6065 . . . . . 6 (r:a1-1-ontob → (yWxy = (x r)))
31enmap2lem3 6065 . . . . . 6 (r:a1-1-ontob → (zWxz = (x r)))
42, 3anim12d 546 . . . . 5 (r:a1-1-ontob → ((yWx zWx) → (y = (x r) z = (x r))))
5 eqtr3 2372 . . . . 5 ((y = (x r) z = (x r)) → y = z)
64, 5syl6 29 . . . 4 (r:a1-1-ontob → ((yWx zWx) → y = z))
76alrimiv 1631 . . 3 (r:a1-1-ontobz((yWx zWx) → y = z))
87alrimivv 1632 . 2 (r:a1-1-ontobxyz((yWx zWx) → y = z))
9 dffun2 5119 . . 3 (Fun Wxyz((xWy xWz) → y = z))
10 brcnv 4892 . . . . . . 7 (xWyyWx)
11 brcnv 4892 . . . . . . 7 (xWzzWx)
1210, 11anbi12i 678 . . . . . 6 ((xWy xWz) ↔ (yWx zWx))
1312imbi1i 315 . . . . 5 (((xWy xWz) → y = z) ↔ ((yWx zWx) → y = z))
1413albii 1566 . . . 4 (z((xWy xWz) → y = z) ↔ z((yWx zWx) → y = z))
15142albii 1567 . . 3 (xyz((xWy xWz) → y = z) ↔ xyz((yWx zWx) → y = z))
169, 15bitri 240 . 2 (Fun Wxyz((yWx zWx) → y = z))
178, 16sylibr 203 1 (r:a1-1-ontob → Fun W)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   class class class wbr 4639   ∘ ccom 4721  ◡ccnv 4771  Fun wfun 4775  –1-1-onto→wf1o 4780  (class class class)co 5525   ↦ cmpt 5651   ↑m cmap 5999 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-map 6001 This theorem is referenced by:  enmap2  6068
 Copyright terms: Public domain W3C validator