New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  erref GIF version

Theorem erref 5959
 Description: An equivalence relation is reflexive on its field. Compare Theorem 3M of [Enderton] p. 56. (Contributed by set.mm contributors, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erref.1 (φR Er V)
erref.2 (φ → dom R = A)
erref.3 (φX A)
Assertion
Ref Expression
erref (φXRX)

Proof of Theorem erref
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erref.3 . 2 (φX A)
2 erref.2 . . . 4 (φ → dom R = A)
32eleq2d 2420 . . 3 (φ → (X dom RX A))
4 eldm 4898 . . . 4 (X dom Ry XRy)
5 erref.1 . . . . . . . 8 (φR Er V)
65adantr 451 . . . . . . 7 ((φ XRy) → R Er V)
7 elex 2867 . . . . . . . . 9 (X AX V)
81, 7syl 15 . . . . . . . 8 (φX V)
98adantr 451 . . . . . . 7 ((φ XRy) → X V)
10 vex 2862 . . . . . . . 8 y V
1110a1i 10 . . . . . . 7 ((φ XRy) → y V)
12 simpr 447 . . . . . . 7 ((φ XRy) → XRy)
136, 9, 11, 9, 12, 12ertr4d 5958 . . . . . 6 ((φ XRy) → XRX)
1413ex 423 . . . . 5 (φ → (XRyXRX))
1514exlimdv 1636 . . . 4 (φ → (y XRyXRX))
164, 15syl5bi 208 . . 3 (φ → (X dom RXRX))
173, 16sylbird 226 . 2 (φ → (X AXRX))
181, 17mpd 14 1 (φXRX)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639  dom cdm 4772   Er cer 5898 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909 This theorem is referenced by:  erth  5968
 Copyright terms: Public domain W3C validator