New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  erth GIF version

Theorem erth 5968
 Description: Basic property of equivalence relations. Theorem 73 of [Suppes] p. 82. (Contributed by set.mm contributors, 23-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erth.1 (φR Er V)
erth.2 (φ → dom R = X)
erth.3 (φA X)
erth.4 (φB V)
Assertion
Ref Expression
erth (φ → (ARB ↔ [A]R = [B]R))

Proof of Theorem erth
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erth.1 . . . . . . . 8 (φR Er V)
21adantr 451 . . . . . . 7 ((φ (ARB ARx)) → R Er V)
3 erth.4 . . . . . . . . 9 (φB V)
4 elex 2867 . . . . . . . . 9 (B VB V)
53, 4syl 15 . . . . . . . 8 (φB V)
65adantr 451 . . . . . . 7 ((φ (ARB ARx)) → B V)
7 erth.3 . . . . . . . . 9 (φA X)
8 elex 2867 . . . . . . . . 9 (A XA V)
97, 8syl 15 . . . . . . . 8 (φA V)
109adantr 451 . . . . . . 7 ((φ (ARB ARx)) → A V)
11 vex 2862 . . . . . . . 8 x V
1211a1i 10 . . . . . . 7 ((φ (ARB ARx)) → x V)
13 simprl 732 . . . . . . 7 ((φ (ARB ARx)) → ARB)
14 simprr 733 . . . . . . 7 ((φ (ARB ARx)) → ARx)
152, 6, 10, 12, 13, 14ertr3d 5957 . . . . . 6 ((φ (ARB ARx)) → BRx)
1615expr 598 . . . . 5 ((φ ARB) → (ARxBRx))
1711a1i 10 . . . . . . 7 (φx V)
181, 9, 5, 17ertr 5954 . . . . . 6 (φ → ((ARB BRx) → ARx))
1918expdimp 426 . . . . 5 ((φ ARB) → (BRxARx))
2016, 19impbid 183 . . . 4 ((φ ARB) → (ARxBRx))
2120abbidv 2467 . . 3 ((φ ARB) → {x ARx} = {x BRx})
22 dfec2 5948 . . 3 [A]R = {x ARx}
23 dfec2 5948 . . 3 [B]R = {x BRx}
2421, 22, 233eqtr4g 2410 . 2 ((φ ARB) → [A]R = [B]R)
251adantr 451 . . 3 ((φ [A]R = [B]R) → R Er V)
26 simpl 443 . . . 4 ((φ [A]R = [B]R) → φ)
2726, 3, 43syl 18 . . 3 ((φ [A]R = [B]R) → B V)
2826, 7, 83syl 18 . . 3 ((φ [A]R = [B]R) → A V)
29 erth.2 . . . . . . . 8 (φ → dom R = X)
301, 29, 7erref 5959 . . . . . . 7 (φARA)
31 elec 5964 . . . . . . 7 (A [A]RARA)
3230, 31sylibr 203 . . . . . 6 (φA [A]R)
33 eleq2 2414 . . . . . 6 ([A]R = [B]R → (A [A]RA [B]R))
3432, 33syl5ibcom 211 . . . . 5 (φ → ([A]R = [B]RA [B]R))
3534imp 418 . . . 4 ((φ [A]R = [B]R) → A [B]R)
36 elec 5964 . . . 4 (A [B]RBRA)
3735, 36sylib 188 . . 3 ((φ [A]R = [B]R) → BRA)
3825, 27, 28, 37ersym 5952 . 2 ((φ [A]R = [B]R) → ARB)
3924, 38impbida 805 1 (φ → (ARB ↔ [A]R = [B]R))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2859   class class class wbr 4639  dom cdm 4772   Er cer 5898  [cec 5945 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947 This theorem is referenced by:  erth2  5969  erthi  5970  eqncg  6126  ncseqnc  6128
 Copyright terms: Public domain W3C validator