New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  f1elima GIF version

Theorem f1elima 5474
 Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
f1elima ((F:A1-1B X A Y A) → ((FX) (FY) ↔ X Y))

Proof of Theorem f1elima
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5259 . . . 4 (F:A1-1BF Fn A)
2 fvelimab 5370 . . . 4 ((F Fn A Y A) → ((FX) (FY) ↔ z Y (Fz) = (FX)))
31, 2sylan 457 . . 3 ((F:A1-1B Y A) → ((FX) (FY) ↔ z Y (Fz) = (FX)))
433adant2 974 . 2 ((F:A1-1B X A Y A) → ((FX) (FY) ↔ z Y (Fz) = (FX)))
5 ssel 3267 . . . . . . . 8 (Y A → (z Yz A))
65impac 604 . . . . . . 7 ((Y A z Y) → (z A z Y))
7 f1fveq 5473 . . . . . . . . . . . 12 ((F:A1-1B (z A X A)) → ((Fz) = (FX) ↔ z = X))
87ancom2s 777 . . . . . . . . . . 11 ((F:A1-1B (X A z A)) → ((Fz) = (FX) ↔ z = X))
98biimpd 198 . . . . . . . . . 10 ((F:A1-1B (X A z A)) → ((Fz) = (FX) → z = X))
109anassrs 629 . . . . . . . . 9 (((F:A1-1B X A) z A) → ((Fz) = (FX) → z = X))
11 eleq1 2413 . . . . . . . . . 10 (z = X → (z YX Y))
1211biimpcd 215 . . . . . . . . 9 (z Y → (z = XX Y))
1310, 12sylan9 638 . . . . . . . 8 ((((F:A1-1B X A) z A) z Y) → ((Fz) = (FX) → X Y))
1413anasss 628 . . . . . . 7 (((F:A1-1B X A) (z A z Y)) → ((Fz) = (FX) → X Y))
156, 14sylan2 460 . . . . . 6 (((F:A1-1B X A) (Y A z Y)) → ((Fz) = (FX) → X Y))
1615anassrs 629 . . . . 5 ((((F:A1-1B X A) Y A) z Y) → ((Fz) = (FX) → X Y))
1716rexlimdva 2738 . . . 4 (((F:A1-1B X A) Y A) → (z Y (Fz) = (FX) → X Y))
18173impa 1146 . . 3 ((F:A1-1B X A Y A) → (z Y (Fz) = (FX) → X Y))
19 eqid 2353 . . . 4 (FX) = (FX)
20 fveq2 5328 . . . . . 6 (z = X → (Fz) = (FX))
2120eqeq1d 2361 . . . . 5 (z = X → ((Fz) = (FX) ↔ (FX) = (FX)))
2221rspcev 2955 . . . 4 ((X Y (FX) = (FX)) → z Y (Fz) = (FX))
2319, 22mpan2 652 . . 3 (X Yz Y (Fz) = (FX))
2418, 23impbid1 194 . 2 ((F:A1-1B X A Y A) → (z Y (Fz) = (FX) ↔ X Y))
254, 24bitrd 244 1 ((F:A1-1B X A Y A) → ((FX) (FY) ↔ X Y))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615   ⊆ wss 3257   “ cima 4722   Fn wfn 4776  –1-1→wf1 4778   ‘cfv 4781 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fv 4795 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator