Theorem fnfrec 6320

Description: The recursive function generator is a function over the finite cardinals. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnfrec.1	⊢ F = FRec (G, I)
fnfrec.2	⊢ (φ → G ∈ Funs )
fnfrec.3	⊢ (φ → I ∈ dom G)
fnfrec.4	⊢ (φ → ran G ⊆ dom G)

Assertion

Ref	Expression
fnfrec	⊢ (φ → F Fn Nn )

Proof of Theorem fnfrec

Dummy variables x y z w t a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breldm 4911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (xFy → x ∈ dom F)
2	1	adantl 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ xFy) → x ∈ dom F)
3		fnfrec.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ F = FRec (G, I)
4		fnfrec.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → G ∈ Funs )
5		fnfrec.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → I ∈ dom G)
6		fnfrec.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → ran G ⊆ dom G)
7	3, 4, 5, 6	dmfrec 6316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (φ → dom F = Nn )
8	7	adantr 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ xFy) → dom F = Nn )
9	2, 8	eleqtrd 2429	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ xFy) → x ∈ Nn )
10	9	adantrr 697	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ (xFy ∧ xFz)) → x ∈ Nn )
11	3	frecexg 6312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (G ∈ Funs → F ∈ V)
12		fnfreclem1 6317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (F ∈ V → {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)} ∈ V)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)} ∈ V)
14		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = 0c → (wFy ↔ 0cFy))
15		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = 0c → (wFz ↔ 0cFz))
16	14, 15	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = 0c → ((wFy ∧ wFz) ↔ (0cFy ∧ 0cFz)))
17	16	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = 0c → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ((0cFy ∧ 0cFz) → y = z)))
18	17	2albidv 1627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = 0c → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z((0cFy ∧ 0cFz) → y = z)))
19		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = t → (wFy ↔ tFy))
20		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = t → (wFz ↔ tFz))
21	19, 20	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = t → ((wFy ∧ wFz) ↔ (tFy ∧ tFz)))
22	21	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = t → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ((tFy ∧ tFz) → y = z)))
23	22	2albidv 1627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = t → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z)))
24		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = (t +c 1c) → (wFy ↔ (t +c 1c)Fy))
25		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = (t +c 1c) → (wFz ↔ (t +c 1c)Fz))
26	24, 25	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = (t +c 1c) → ((wFy ∧ wFz) ↔ ((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz)))
27	26	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = (t +c 1c) → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ (((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z)))
28	27	2albidv 1627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = (t +c 1c) → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z(((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z)))
29		breq2 4643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = a → ((t +c 1c)Fy ↔ (t +c 1c)Fa))
30		breq2 4643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = b → ((t +c 1c)Fz ↔ (t +c 1c)Fb))
31	29, 30	bi2anan9 843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y = a ∧ z = b) → (((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) ↔ ((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb)))
32		eqeq12 2365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y = a ∧ z = b) → (y = z ↔ a = b))
33	31, 32	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y = a ∧ z = b) → ((((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z) ↔ (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
34	33	cbval2v 2006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y∀z(((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z) ↔ ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b))
35	28, 34	syl6bb 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = (t +c 1c) → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
36		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = x → (wFy ↔ xFy))
37		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = x → (wFz ↔ xFz))
38	36, 37	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = x → ((wFy ∧ wFz) ↔ (xFy ∧ xFz)))
39	38	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = x → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ((xFy ∧ xFz) → y = z)))
40	39	2albidv 1627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = x → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z)))
41	3, 4, 5, 6	fnfreclem2 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (φ → (0cFy → y = I))
42	41	imp 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ 0cFy) → y = I)
43	42	adantrr 697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (0cFy ∧ 0cFz)) → y = I)
44	3, 4, 5, 6	fnfreclem2 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (φ → (0cFz → z = I))
45	44	imp 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ 0cFz) → z = I)
46	45	adantrl 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (0cFy ∧ 0cFz)) → z = I)
47	43, 46	eqtr4d 2388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (0cFy ∧ 0cFz)) → y = z)
48	47	ex 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (φ → ((0cFy ∧ 0cFz) → y = z))
49	48	alrimivv 1632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → ∀y∀z((0cFy ∧ 0cFz) → y = z))
50	4	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → G ∈ Funs )
51	5	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → I ∈ dom G)
52	6	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → ran G ⊆ dom G)
53		simplr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → t ∈ Nn )
54		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → (t +c 1c)Fa)
55	3, 50, 51, 52, 53, 54	fnfreclem3 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → ∃y(tFy ∧ yGa))
56	55	adantlrr 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) ∧ (t +c 1c)Fa) → ∃y(tFy ∧ yGa))
57	56	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → ((t +c 1c)Fa → ∃y(tFy ∧ yGa)))
58	4	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → G ∈ Funs )
59	5	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → I ∈ dom G)
60	6	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → ran G ⊆ dom G)
61		simplr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → t ∈ Nn )
62		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → (t +c 1c)Fb)
63	3, 58, 59, 60, 61, 62	fnfreclem3 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → ∃z(tFz ∧ zGb))
64	63	adantlrr 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) ∧ (t +c 1c)Fb) → ∃z(tFz ∧ zGb))
65	64	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → ((t +c 1c)Fb → ∃z(tFz ∧ zGb)))
66	57, 65	anim12d 546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → (∃y(tFy ∧ yGa) ∧ ∃z(tFz ∧ zGb))))
67		eeanv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) ↔ (∃y(tFy ∧ yGa) ∧ ∃z(tFz ∧ zGb)))
68	66, 67	syl6ibr 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
69		19.29 1596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃y(∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
70		19.29 1596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
71	70	eximi 1576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃y(∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
72	69, 71	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
73		pm3.35 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((tFy ∧ tFz) ∧ ((tFy ∧ tFz) → y = z)) → y = z)
74		breq1 4642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (y = z → (yGa ↔ zGa))
75	74	anbi1d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y = z → ((yGa ∧ zGb) ↔ (zGa ∧ zGb)))
76	75	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((y = z ∧ (yGa ∧ zGb)) → (zGa ∧ zGb))
77		elfunsi 5831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (G ∈ Funs → Fun G)
78		funbrfv 5356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (Fun G → (zGa → (G ‘z) = a))
79	4, 77, 78	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (φ → (zGa → (G ‘z) = a))
80		funbrfv 5356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (Fun G → (zGb → (G ‘z) = b))
81	4, 77, 80	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (φ → (zGb → (G ‘z) = b))
82	79, 81	anim12d 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (φ → ((zGa ∧ zGb) → ((G ‘z) = a ∧ (G ‘z) = b)))
83		eqtr2 2371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((G ‘z) = a ∧ (G ‘z) = b) → a = b)
84	76, 82, 83	syl56 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (φ → ((y = z ∧ (yGa ∧ zGb)) → a = b))
85	84	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (φ → (y = z → ((yGa ∧ zGb) → a = b)))
86	73, 85	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (φ → (((tFy ∧ tFz) ∧ ((tFy ∧ tFz) → y = z)) → ((yGa ∧ zGb) → a = b)))
87	86	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (φ → ((tFy ∧ tFz) → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → ((yGa ∧ zGb) → a = b))))
88	87	com34 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (φ → ((tFy ∧ tFz) → ((yGa ∧ zGb) → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b))))
89	88	imp3a 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (φ → (((tFy ∧ tFz) ∧ (yGa ∧ zGb)) → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b)))
90	89	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((tFy ∧ tFz) ∧ (yGa ∧ zGb)) → (φ → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b)))
91	90	an4s 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → (φ → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b)))
92	91	com3l 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (φ → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → (((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → a = b)))
93	92	imp3a 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (φ → ((((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
94	93	exlimdvv 1637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (φ → (∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
95	94	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → (∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
96	72, 95	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → ((∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
97	96	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → (∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) → (∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → a = b)))
98	97	impr 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → a = b))
99	68, 98	syld 40	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b))
100	99	alrimivv 1632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b))
101	100	expr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → (∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) → ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
102	101	ancoms 439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((t ∈ Nn ∧ φ) → (∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) → ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
103	13, 18, 23, 35, 40, 49, 102	findsd 4410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ φ) → ∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
104	103	19.21bbi 1865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ φ) → ((xFy ∧ xFz) → y = z))
105	104	ex 423	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ Nn → (φ → ((xFy ∧ xFz) → y = z)))
106	105	imp3a 420	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Nn → ((φ ∧ (xFy ∧ xFz)) → y = z))
107	10, 106	mpcom 32	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ (xFy ∧ xFz)) → y = z)
108	107	ex 423	. . . . 5 ⊢ (φ → ((xFy ∧ xFz) → y = z))
109	108	alrimivv 1632	. . . 4 ⊢ (φ → ∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
110	109	alrimiv 1631	. . 3 ⊢ (φ → ∀x∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
111		dffun2 5119	. . 3 ⊢ (Fun F ↔ ∀x∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
112	110, 111	sylibr 203	. 2 ⊢ (φ → Fun F)
113		df-fn 4790	. 2 ⊢ (F Fn Nn ↔ (Fun F ∧ dom F = Nn ))
114	112, 7, 113	sylanbrc 645	1 ⊢ (φ → F Fn Nn )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   +_c cplc 4375   class class class wbr 4639  dom cdm 4772  ran crn 4773  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776   ‘cfv 4781   Funs cfuns 5759   FRec cfrec 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-clos1 5873  df-frec 6310

This theorem is referenced by:  frec0  6321  frecsuc  6322