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Theorem fnfreclem1 6317
Description: Lemma for fnfrec 6320. Establish stratification for induction. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnfreclem1 (F V → {w yz((wFy wFz) → y = z)} V)
Distinct variable group:   w,F,y,z
Allowed substitution hints:   V(y,z,w)

Proof of Theorem fnfreclem1
StepHypRef Expression
1 vex 2862 . . . . 5 w V
21elcompl 3225 . . . 4 (w ∼ ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ ¬ w ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ))
3 elrn2 4897 . . . . . 6 (w ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ yy, w ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ))
4 elrn2 4897 . . . . . . . 8 (y, w ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ zz, y, w (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ))
5 eldif 3221 . . . . . . . . . 10 (z, y, w (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ (z, y, w ((V × F) ∩ Ins2 F) ¬ z, y, w Ins3 I ))
6 elin 3219 . . . . . . . . . . . 12 (z, y, w ((V × F) ∩ Ins2 F) ↔ (z, y, w (V × F) z, y, w Ins2 F))
7 opelcnv 4893 . . . . . . . . . . . . . 14 (y, w Fw, y F)
8 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 z V
9 opelxp 4811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z, y, w (V × F) ↔ (z V y, w F))
108, 9mpbiran 884 . . . . . . . . . . . . . 14 (z, y, w (V × F) ↔ y, w F)
11 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 (wFyw, y F)
127, 10, 113bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . 13 (z, y, w (V × F) ↔ wFy)
13 opelcnv 4893 . . . . . . . . . . . . . 14 (z, w Fw, z F)
14 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 y V
1514otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . 14 (z, y, w Ins2 Fz, w F)
16 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 (wFzw, z F)
1713, 15, 163bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . 13 (z, y, w Ins2 FwFz)
1812, 17anbi12i 678 . . . . . . . . . . . 12 ((z, y, w (V × F) z, y, w Ins2 F) ↔ (wFy wFz))
196, 18bitri 240 . . . . . . . . . . 11 (z, y, w ((V × F) ∩ Ins2 F) ↔ (wFy wFz))
201otelins3 5792 . . . . . . . . . . . . 13 (z, y, w Ins3 I ↔ z, y I )
21 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . 13 (z I yz, y I )
2214ideq 4870 . . . . . . . . . . . . . 14 (z I yz = y)
23 equcom 1680 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = yy = z)
2422, 23bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13 (z I yy = z)
2520, 21, 243bitr2i 264 . . . . . . . . . . . 12 (z, y, w Ins3 I ↔ y = z)
2625notbii 287 . . . . . . . . . . 11 z, y, w Ins3 I ↔ ¬ y = z)
2719, 26anbi12i 678 . . . . . . . . . 10 ((z, y, w ((V × F) ∩ Ins2 F) ¬ z, y, w Ins3 I ) ↔ ((wFy wFz) ¬ y = z))
285, 27bitri 240 . . . . . . . . 9 (z, y, w (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ ((wFy wFz) ¬ y = z))
2928exbii 1582 . . . . . . . 8 (zz, y, w (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ z((wFy wFz) ¬ y = z))
304, 29bitri 240 . . . . . . 7 (y, w ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ z((wFy wFz) ¬ y = z))
3130exbii 1582 . . . . . 6 (yy, w ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ yz((wFy wFz) ¬ y = z))
32 exanali 1585 . . . . . . . 8 (z((wFy wFz) ¬ y = z) ↔ ¬ z((wFy wFz) → y = z))
3332exbii 1582 . . . . . . 7 (yz((wFy wFz) ¬ y = z) ↔ y ¬ z((wFy wFz) → y = z))
34 exnal 1574 . . . . . . 7 (y ¬ z((wFy wFz) → y = z) ↔ ¬ yz((wFy wFz) → y = z))
3533, 34bitri 240 . . . . . 6 (yz((wFy wFz) ¬ y = z) ↔ ¬ yz((wFy wFz) → y = z))
363, 31, 353bitrri 263 . . . . 5 yz((wFy wFz) → y = z) ↔ w ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ))
3736con1bii 321 . . . 4 w ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ yz((wFy wFz) → y = z))
382, 37bitri 240 . . 3 (w ∼ ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) ↔ yz((wFy wFz) → y = z))
3938abbi2i 2464 . 2 ∼ ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) = {w yz((wFy wFz) → y = z)}
40 vvex 4109 . . . . . 6 V V
41 cnvexg 5101 . . . . . 6 (F VF V)
42 xpexg 5114 . . . . . 6 ((V V F V) → (V × F) V)
4340, 41, 42sylancr 644 . . . . 5 (F V → (V × F) V)
44 ins2exg 5795 . . . . . 6 (F V → Ins2 F V)
4541, 44syl 15 . . . . 5 (F VIns2 F V)
46 inexg 4100 . . . . 5 (((V × F) V Ins2 F V) → ((V × F) ∩ Ins2 F) V)
4743, 45, 46syl2anc 642 . . . 4 (F V → ((V × F) ∩ Ins2 F) V)
48 idex 5504 . . . . . 6 I V
4948ins3ex 5798 . . . . 5 Ins3 I V
50 difexg 4102 . . . . 5 ((((V × F) ∩ Ins2 F) V Ins3 I V) → (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
5149, 50mpan2 652 . . . 4 (((V × F) ∩ Ins2 F) V → (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
52 rnexg 5104 . . . 4 ((((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V → ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
5347, 51, 523syl 18 . . 3 (F V → ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
54 rnexg 5104 . . 3 (ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V → ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
55 complexg 4099 . . 3 (ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V → ∼ ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
5653, 54, 553syl 18 . 2 (F V → ∼ ran ran (((V × F) ∩ Ins2 F) Ins3 I ) V)
5739, 56syl5eqelr 2438 1 (F V → {w yz((wFy wFz) → y = z)} V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 358  wal 1540  wex 1541   wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2859  ccompl 3205   cdif 3206  cin 3208  cop 4561   class class class wbr 4639   I cid 4763   × cxp 4770  ccnv 4771  ran crn 4773   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752
This theorem is referenced by:  fnfrec  6320
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