Theorem fnssresb 5195

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by set.mm contributors, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnssresb	⊢ (F Fn A → ((F ↾ B) Fn B ↔ B ⊆ A))

Proof of Theorem fnssresb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fn 4790	. 2 ⊢ ((F ↾ B) Fn B ↔ (Fun (F ↾ B) ∧ dom (F ↾ B) = B))
2		fnfun 5181	. . . . 5 ⊢ (F Fn A → Fun F)
3		funres 5143	. . . . 5 ⊢ (Fun F → Fun (F ↾ B))
4	2, 3	syl 15	. . . 4 ⊢ (F Fn A → Fun (F ↾ B))
5	4	biantrurd 494	. . 3 ⊢ (F Fn A → (dom (F ↾ B) = B ↔ (Fun (F ↾ B) ∧ dom (F ↾ B) = B)))
6		ssdmres 4987	. . . 4 ⊢ (B ⊆ dom F ↔ dom (F ↾ B) = B)
7		fndm 5182	. . . . 5 ⊢ (F Fn A → dom F = A)
8	7	sseq2d 3299	. . . 4 ⊢ (F Fn A → (B ⊆ dom F ↔ B ⊆ A))
9	6, 8	syl5bbr 250	. . 3 ⊢ (F Fn A → (dom (F ↾ B) = B ↔ B ⊆ A))
10	5, 9	bitr3d 246	. 2 ⊢ (F Fn A → ((Fun (F ↾ B) ∧ dom (F ↾ B) = B) ↔ B ⊆ A))
11	1, 10	syl5bb 248	1 ⊢ (F Fn A → ((F ↾ B) Fn B ↔ B ⊆ A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ⊆ wss 3257  dom cdm 4772   ↾ cres 4774  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790

This theorem is referenced by:  fnssres  5196  fundmen  6043