New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  frds GIF version

Theorem frds 5935
 Description: Substitution schema verson of frd 5922. (Contributed by SF, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frds.1 {x ψ} V
frds.2 (x = y → (ψχ))
frds.3 (x = z → (ψθ))
frds.4 (φR Fr A)
frds.5 (φx A ψ)
Assertion
Ref Expression
frds (φy A (χ z A ((θ zRy) → z = y)))
Distinct variable groups:   x,A,y,z   χ,x   ψ,y,z   y,R,z   θ,x   x,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   ψ(x)   χ(y,z)   θ(y,z)   R(x)

Proof of Theorem frds
StepHypRef Expression
1 frds.4 . . 3 (φR Fr A)
2 dfrab2 3530 . . . . 5 {x A ψ} = ({x ψ} ∩ A)
3 df-rab 2623 . . . . 5 {x A ψ} = {x (x A ψ)}
42, 3eqtr3i 2375 . . . 4 ({x ψ} ∩ A) = {x (x A ψ)}
5 frds.1 . . . . 5 {x ψ} V
6 brex 4689 . . . . . . 7 (R Fr A → (R V A V))
71, 6syl 15 . . . . . 6 (φ → (R V A V))
87simprd 449 . . . . 5 (φA V)
9 inexg 4100 . . . . 5 (({x ψ} V A V) → ({x ψ} ∩ A) V)
105, 8, 9sylancr 644 . . . 4 (φ → ({x ψ} ∩ A) V)
114, 10syl5eqelr 2438 . . 3 (φ → {x (x A ψ)} V)
12 ssab2 3350 . . . 4 {x (x A ψ)} A
1312a1i 10 . . 3 (φ → {x (x A ψ)} A)
14 frds.5 . . . . 5 (φx A ψ)
15 df-rex 2620 . . . . 5 (x A ψx(x A ψ))
1614, 15sylib 188 . . . 4 (φx(x A ψ))
17 abn0 3568 . . . 4 ({x (x A ψ)} ≠ x(x A ψ))
1816, 17sylibr 203 . . 3 (φ → {x (x A ψ)} ≠ )
191, 11, 13, 18frd 5922 . 2 (φy {x (x A ψ)}z {x (x A ψ)} (zRyz = y))
20 eleq1 2413 . . . . . 6 (x = y → (x Ay A))
21 frds.2 . . . . . 6 (x = y → (ψχ))
2220, 21anbi12d 691 . . . . 5 (x = y → ((x A ψ) ↔ (y A χ)))
2322rexab 2999 . . . 4 (y {x (x A ψ)}z A ((θ zRy) → z = y) ↔ y((y A χ) z A ((θ zRy) → z = y)))
24 anass 630 . . . . 5 (((y A χ) z A ((θ zRy) → z = y)) ↔ (y A (χ z A ((θ zRy) → z = y))))
2524exbii 1582 . . . 4 (y((y A χ) z A ((θ zRy) → z = y)) ↔ y(y A (χ z A ((θ zRy) → z = y))))
2623, 25bitri 240 . . 3 (y {x (x A ψ)}z A ((θ zRy) → z = y) ↔ y(y A (χ z A ((θ zRy) → z = y))))
27 impexp 433 . . . . . . 7 (((z A θ) → (zRyz = y)) ↔ (z A → (θ → (zRyz = y))))
28 impexp 433 . . . . . . . 8 (((θ zRy) → z = y) ↔ (θ → (zRyz = y)))
2928imbi2i 303 . . . . . . 7 ((z A → ((θ zRy) → z = y)) ↔ (z A → (θ → (zRyz = y))))
3027, 29bitr4i 243 . . . . . 6 (((z A θ) → (zRyz = y)) ↔ (z A → ((θ zRy) → z = y)))
3130albii 1566 . . . . 5 (z((z A θ) → (zRyz = y)) ↔ z(z A → ((θ zRy) → z = y)))
32 eleq1 2413 . . . . . . 7 (x = z → (x Az A))
33 frds.3 . . . . . . 7 (x = z → (ψθ))
3432, 33anbi12d 691 . . . . . 6 (x = z → ((x A ψ) ↔ (z A θ)))
3534ralab 2997 . . . . 5 (z {x (x A ψ)} (zRyz = y) ↔ z((z A θ) → (zRyz = y)))
36 df-ral 2619 . . . . 5 (z A ((θ zRy) → z = y) ↔ z(z A → ((θ zRy) → z = y)))
3731, 35, 363bitr4i 268 . . . 4 (z {x (x A ψ)} (zRyz = y) ↔ z A ((θ zRy) → z = y))
3837rexbii 2639 . . 3 (y {x (x A ψ)}z {x (x A ψ)} (zRyz = y) ↔ y {x (x A ψ)}z A ((θ zRy) → z = y))
39 df-rex 2620 . . 3 (y A (χ z A ((θ zRy) → z = y)) ↔ y(y A (χ z A ((θ zRy) → z = y))))
4026, 38, 393bitr4i 268 . 2 (y {x (x A ψ)}z {x (x A ψ)} (zRyz = y) ↔ y A (χ z A ((θ zRy) → z = y)))
4119, 40sylib 188 1 (φy A (χ z A ((θ zRy) → z = y)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2516  ∀wral 2614  ∃wrex 2615  {crab 2618  Vcvv 2859   ∩ cin 3208   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550   class class class wbr 4639   Fr cfound 5894 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-found 5905 This theorem is referenced by:  weds  5938
 Copyright terms: Public domain W3C validator