New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  funfvima GIF version

Theorem funfvima 5459
 Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by set.mm contributors, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun F B dom F) → (B A → (FB) (FA)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 4986 . . . . . . . 8 dom (F A) = (A ∩ dom F)
21eleq2i 2417 . . . . . . 7 (B dom (F A) ↔ B (A ∩ dom F))
3 elin 3219 . . . . . . 7 (B (A ∩ dom F) ↔ (B A B dom F))
42, 3bitri 240 . . . . . 6 (B dom (F A) ↔ (B A B dom F))
5 funres 5143 . . . . . . . . 9 (Fun F → Fun (F A))
6 fvelrn 5413 . . . . . . . . 9 ((Fun (F A) B dom (F A)) → ((F A) ‘B) ran (F A))
75, 6sylan 457 . . . . . . . 8 ((Fun F B dom (F A)) → ((F A) ‘B) ran (F A))
8 fvres 5342 . . . . . . . . . 10 (B A → ((F A) ‘B) = (FB))
98eleq1d 2419 . . . . . . . . 9 (B A → (((F A) ‘B) ran (F A) ↔ (FB) ran (F A)))
10 dfima3 4951 . . . . . . . . . 10 (FA) = ran (F A)
1110eleq2i 2417 . . . . . . . . 9 ((FB) (FA) ↔ (FB) ran (F A))
129, 11syl6rbbr 255 . . . . . . . 8 (B A → ((FB) (FA) ↔ ((F A) ‘B) ran (F A)))
137, 12syl5ibrcom 213 . . . . . . 7 ((Fun F B dom (F A)) → (B A → (FB) (FA)))
1413ex 423 . . . . . 6 (Fun F → (B dom (F A) → (B A → (FB) (FA))))
154, 14syl5bir 209 . . . . 5 (Fun F → ((B A B dom F) → (B A → (FB) (FA))))
1615exp3a 425 . . . 4 (Fun F → (B A → (B dom F → (B A → (FB) (FA)))))
1716com12 27 . . 3 (B A → (Fun F → (B dom F → (B A → (FB) (FA)))))
1817imp3a 420 . 2 (B A → ((Fun F B dom F) → (B A → (FB) (FA))))
1918pm2.43b 46 1 ((Fun F B dom F) → (B A → (FB) (FA)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710   ∩ cin 3208   “ cima 4722  dom cdm 4772  ran crn 4773   ↾ cres 4774  Fun wfun 4775   ‘cfv 4781 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-fv 4795 This theorem is referenced by:  funfvima2  5460
 Copyright terms: Public domain W3C validator