New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  funun GIF version

Theorem funun 5146
 Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by set.mm contributors, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun F Fun G) (dom F ∩ dom G) = ) → Fun (FG))

Proof of Theorem funun
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3220 . . . . . . . 8 (x, y (FG) ↔ (x, y F x, y G))
2 elun 3220 . . . . . . . 8 (x, z (FG) ↔ (x, z F x, z G))
31, 2anbi12i 678 . . . . . . 7 ((x, y (FG) x, z (FG)) ↔ ((x, y F x, y G) (x, z F x, z G)))
4 anddi 840 . . . . . . 7 (((x, y F x, y G) (x, z F x, z G)) ↔ (((x, y F x, z F) (x, y F x, z G)) ((x, y G x, z F) (x, y G x, z G))))
53, 4bitri 240 . . . . . 6 ((x, y (FG) x, z (FG)) ↔ (((x, y F x, z F) (x, y F x, z G)) ((x, y G x, z F) (x, y G x, z G))))
6 sp 1747 . . . . . . . . . 10 (x(x dom F → ¬ x dom G) → (x dom F → ¬ x dom G))
7 disj1 3593 . . . . . . . . . 10 ((dom F ∩ dom G) = x(x dom F → ¬ x dom G))
8 imnan 411 . . . . . . . . . . 11 ((x dom F → ¬ x dom G) ↔ ¬ (x dom F x dom G))
98bicomi 193 . . . . . . . . . 10 (¬ (x dom F x dom G) ↔ (x dom F → ¬ x dom G))
106, 7, 93imtr4i 257 . . . . . . . . 9 ((dom F ∩ dom G) = → ¬ (x dom F x dom G))
11 opeldm 4910 . . . . . . . . . 10 (x, y Fx dom F)
12 opeldm 4910 . . . . . . . . . 10 (x, z Gx dom G)
1311, 12anim12i 549 . . . . . . . . 9 ((x, y F x, z G) → (x dom F x dom G))
1410, 13nsyl 113 . . . . . . . 8 ((dom F ∩ dom G) = → ¬ (x, y F x, z G))
15 orel2 372 . . . . . . . 8 (¬ (x, y F x, z G) → (((x, y F x, z F) (x, y F x, z G)) → (x, y F x, z F)))
1614, 15syl 15 . . . . . . 7 ((dom F ∩ dom G) = → (((x, y F x, z F) (x, y F x, z G)) → (x, y F x, z F)))
17 sp 1747 . . . . . . . . . 10 (x(x dom G → ¬ x dom F) → (x dom G → ¬ x dom F))
18 incom 3448 . . . . . . . . . . . 12 (dom F ∩ dom G) = (dom G ∩ dom F)
1918eqeq1i 2360 . . . . . . . . . . 11 ((dom F ∩ dom G) = ↔ (dom G ∩ dom F) = )
20 disj1 3593 . . . . . . . . . . 11 ((dom G ∩ dom F) = x(x dom G → ¬ x dom F))
2119, 20bitri 240 . . . . . . . . . 10 ((dom F ∩ dom G) = x(x dom G → ¬ x dom F))
22 imnan 411 . . . . . . . . . . 11 ((x dom G → ¬ x dom F) ↔ ¬ (x dom G x dom F))
2322bicomi 193 . . . . . . . . . 10 (¬ (x dom G x dom F) ↔ (x dom G → ¬ x dom F))
2417, 21, 233imtr4i 257 . . . . . . . . 9 ((dom F ∩ dom G) = → ¬ (x dom G x dom F))
25 opeldm 4910 . . . . . . . . . 10 (x, y Gx dom G)
26 opeldm 4910 . . . . . . . . . 10 (x, z Fx dom F)
2725, 26anim12i 549 . . . . . . . . 9 ((x, y G x, z F) → (x dom G x dom F))
2824, 27nsyl 113 . . . . . . . 8 ((dom F ∩ dom G) = → ¬ (x, y G x, z F))
29 orel1 371 . . . . . . . 8 (¬ (x, y G x, z F) → (((x, y G x, z F) (x, y G x, z G)) → (x, y G x, z G)))
3028, 29syl 15 . . . . . . 7 ((dom F ∩ dom G) = → (((x, y G x, z F) (x, y G x, z G)) → (x, y G x, z G)))
3116, 30orim12d 811 . . . . . 6 ((dom F ∩ dom G) = → ((((x, y F x, z F) (x, y F x, z G)) ((x, y G x, z F) (x, y G x, z G))) → ((x, y F x, z F) (x, y G x, z G))))
325, 31syl5bi 208 . . . . 5 ((dom F ∩ dom G) = → ((x, y (FG) x, z (FG)) → ((x, y F x, z F) (x, y G x, z G))))
33 dffun4 5121 . . . . . . . . 9 (Fun Fxyz((x, y F x, z F) → y = z))
3433biimpi 186 . . . . . . . 8 (Fun Fxyz((x, y F x, z F) → y = z))
353419.21bi 1758 . . . . . . 7 (Fun Fyz((x, y F x, z F) → y = z))
363519.21bbi 1865 . . . . . 6 (Fun F → ((x, y F x, z F) → y = z))
37 dffun4 5121 . . . . . . . . 9 (Fun Gxyz((x, y G x, z G) → y = z))
3837biimpi 186 . . . . . . . 8 (Fun Gxyz((x, y G x, z G) → y = z))
393819.21bi 1758 . . . . . . 7 (Fun Gyz((x, y G x, z G) → y = z))
403919.21bbi 1865 . . . . . 6 (Fun G → ((x, y G x, z G) → y = z))
4136, 40jaao 495 . . . . 5 ((Fun F Fun G) → (((x, y F x, z F) (x, y G x, z G)) → y = z))
4232, 41sylan9r 639 . . . 4 (((Fun F Fun G) (dom F ∩ dom G) = ) → ((x, y (FG) x, z (FG)) → y = z))
4342alrimiv 1631 . . 3 (((Fun F Fun G) (dom F ∩ dom G) = ) → z((x, y (FG) x, z (FG)) → y = z))
4443alrimivv 1632 . 2 (((Fun F Fun G) (dom F ∩ dom G) = ) → xyz((x, y (FG) x, z (FG)) → y = z))
45 dffun4 5121 . 2 (Fun (FG) ↔ xyz((x, y (FG) x, z (FG)) → y = z))
4644, 45sylibr 203 1 (((Fun F Fun G) (dom F ∩ dom G) = ) → Fun (FG))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  ⟨cop 4561  dom cdm 4772  Fun wfun 4775 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789 This theorem is referenced by:  funprg  5149  funprgOLD  5150  fnun  5189  fvun  5378
 Copyright terms: Public domain W3C validator