New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ider GIF version

Theorem ider 5943
 Description: The identity relationship is an equivalence relationship over the universe. (Contributed by SF, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ider I Er V

Proof of Theorem ider
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idex 5504 . . . 4 I V
21a1i 10 . . 3 ( ⊤ → I V)
3 vvex 4109 . . . 4 V V
43a1i 10 . . 3 ( ⊤ → V V)
5 equcomi 1679 . . . . 5 (x = yy = x)
6 vex 2862 . . . . . 6 y V
76ideq 4870 . . . . 5 (x I yx = y)
8 vex 2862 . . . . . 6 x V
98ideq 4870 . . . . 5 (y I xy = x)
105, 7, 93imtr4i 257 . . . 4 (x I yy I x)
11103ad2ant3 978 . . 3 (( ⊤ (x V y V) x I y) → y I x)
12 eqtr 2370 . . . . 5 ((x = y y = z) → x = z)
13 vex 2862 . . . . . . 7 z V
1413ideq 4870 . . . . . 6 (y I zy = z)
157, 14anbi12i 678 . . . . 5 ((x I y y I z) ↔ (x = y y = z))
1613ideq 4870 . . . . 5 (x I zx = z)
1712, 15, 163imtr4i 257 . . . 4 ((x I y y I z) → x I z)
18173ad2ant3 978 . . 3 (( ⊤ (x V y V z V) (x I y y I z)) → x I z)
192, 4, 11, 18iserd 5942 . 2 ( ⊤ → I Er V)
2019trud 1323 1 I Er V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ⊤ wtru 1316   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639   I cid 4763   Er cer 5898 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-swap 4724  df-sset 4725  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator