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Theorem imagekexg 4311
Description: The Kuratowski image functor preserves sethood. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
imagekexg (A V → ImagekA V)

Proof of Theorem imagekexg
StepHypRef Expression
1 df-imagek 4194 . 2 ImagekA = ((V ×k V) (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c))
2 sikexg 4296 . . . . . . . 8 (A VSIk A V)
3 cnvkexg 4286 . . . . . . . 8 ( SIk A V → k SIk A V)
42, 3syl 15 . . . . . . 7 (A Vk SIk A V)
5 ssetkex 4294 . . . . . . . 8 Sk V
6 cokexg 4309 . . . . . . . 8 (( Sk V k SIk A V) → ( Sk k k SIk A) V)
75, 6mpan 651 . . . . . . 7 (k SIk A V → ( Sk k k SIk A) V)
84, 7syl 15 . . . . . 6 (A V → ( Sk k k SIk A) V)
9 ins3kexg 4306 . . . . . 6 (( Sk k k SIk A) V → Ins3k ( Sk k k SIk A) V)
108, 9syl 15 . . . . 5 (A VIns3k ( Sk k k SIk A) V)
115ins2kex 4307 . . . . . 6 Ins2k Sk V
12 symdifexg 4103 . . . . . 6 (( Ins2k Sk V Ins3k ( Sk k k SIk A) V) → ( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) V)
1311, 12mpan 651 . . . . 5 ( Ins3k ( Sk k k SIk A) V → ( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) V)
1410, 13syl 15 . . . 4 (A V → ( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) V)
15 1cex 4142 . . . . . . 7 1c V
1615pw1ex 4303 . . . . . 6 11c V
1716pw1ex 4303 . . . . 5 111c V
18 imakexg 4299 . . . . 5 ((( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) V 111c V) → (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c) V)
1917, 18mpan2 652 . . . 4 (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) V → (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c) V)
2014, 19syl 15 . . 3 (A V → (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c) V)
21 vvex 4109 . . . . 5 V V
2221, 21xpkex 4289 . . . 4 (V ×k V) V
23 difexg 4102 . . . 4 (((V ×k V) V (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c) V) → ((V ×k V) (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c)) V)
2422, 23mpan 651 . . 3 ((( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c) V → ((V ×k V) (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c)) V)
2520, 24syl 15 . 2 (A V → ((V ×k V) (( Ins2k SkIns3k ( Sk k k SIk A)) “k 111c)) V)
261, 25syl5eqel 2437 1 (A V → ImagekA V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1710  Vcvv 2859   cdif 3206  csymdif 3209  1cc1c 4134  1cpw1 4135   ×k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  k cimak 4179   k ccomk 4180   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194
This theorem is referenced by:  imagekex  4312
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