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Theorem ins3kexg 4306
Description: Ins3k preserves sethood. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ins3kexg (A VIns3k A V)

Proof of Theorem ins3kexg
Dummy variables x y z w t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ins3keq 4219 . . 3 (x = AIns3k x = Ins3k A)
21eleq1d 2419 . 2 (x = A → ( Ins3k x V ↔ Ins3k A V))
3 ax-ins3 4085 . . 3 yzwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x)
4 inss1 3475 . . . . . . . 8 ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) (11c ×k (V ×k V))
5 ins3kss 4280 . . . . . . . 8 Ins3k x (11c ×k (V ×k V))
64, 5insklem 4304 . . . . . . 7 (((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) = Ins3k xzwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) ↔ ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ Ins3k x))
7 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 z V
87snel1c 4140 . . . . . . . . . . . . 13 {z} 1c
9 snelpw1 4146 . . . . . . . . . . . . 13 ({{z}} 11c ↔ {z} 1c)
108, 9mpbir 200 . . . . . . . . . . . 12 {{z}} 11c
11 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13 w V
12 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13 t V
1311, 12opkelxpk 4248 . . . . . . . . . . . . 13 (⟪w, t (V ×k V) ↔ (w V t V))
1411, 12, 13mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12 w, t (V ×k V)
15 snex 4111 . . . . . . . . . . . . 13 {{z}} V
16 opkex 4113 . . . . . . . . . . . . 13 w, t V
1715, 16opkelxpk 4248 . . . . . . . . . . . 12 (⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ (11c ×k (V ×k V)) ↔ ({{z}} 11c w, t (V ×k V)))
1810, 14, 17mpbir2an 886 . . . . . . . . . . 11 ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ (11c ×k (V ×k V))
19 elin 3219 . . . . . . . . . . 11 (⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) ↔ (⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ (11c ×k (V ×k V)) ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y))
2018, 19mpbiran 884 . . . . . . . . . 10 (⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) ↔ ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y)
217, 11, 12otkelins3k 4256 . . . . . . . . . 10 (⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ Ins3k x ↔ ⟪z, w x)
2220, 21bibi12i 306 . . . . . . . . 9 ((⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) ↔ ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ Ins3k x) ↔ (⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x))
23222albii 1567 . . . . . . . 8 (wt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) ↔ ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ Ins3k x) ↔ wt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x))
2423albii 1566 . . . . . . 7 (zwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) ↔ ⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ Ins3k x) ↔ zwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x))
256, 24bitri 240 . . . . . 6 (((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) = Ins3k xzwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x))
2625biimpri 197 . . . . 5 (zwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x) → ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) = Ins3k x)
27 1cex 4142 . . . . . . . 8 1c V
2827pw1ex 4303 . . . . . . 7 11c V
29 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
3029, 29xpkex 4289 . . . . . . 7 (V ×k V) V
3128, 30xpkex 4289 . . . . . 6 (11c ×k (V ×k V)) V
32 vex 2862 . . . . . 6 y V
3331, 32inex 4105 . . . . 5 ((11c ×k (V ×k V)) ∩ y) V
3426, 33syl6eqelr 2442 . . . 4 (zwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x) → Ins3k x V)
3534exlimiv 1634 . . 3 (yzwt(⟪{{z}}, ⟪w, t⟫⟫ y ↔ ⟪z, w x) → Ins3k x V)
363, 35ax-mp 5 . 2 Ins3k x V
372, 36vtoclg 2914 1 (A VIns3k A V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176  wal 1540  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  Vcvv 2859  cin 3208  {csn 3737  copk 4057  1cc1c 4134  1cpw1 4135   ×k cxpk 4174   Ins3k cins3k 4177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-si 4083  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192
This theorem is referenced by:  ins3kex  4308  cokexg  4309  imagekexg  4311
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