Theorem iota4an 4358

Description: Theorem *14.23 in [WhiteheadRussell] p. 191. (Contributed by Andrew Salmon, 12-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iota4an	⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣φ)

Proof of Theorem iota4an

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iota4 4357	. 2 ⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣(φ ∧ ψ))
2		iotaex 4356	. . . 4 ⊢ (℩x(φ ∧ ψ)) ∈ V
3		simpl 443	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ ψ) → φ)
4	3	sbcth 3060	. . . 4 ⊢ ((℩x(φ ∧ ψ)) ∈ V → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣((φ ∧ ψ) → φ))
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣((φ ∧ ψ) → φ)
6		sbcimg 3087	. . . 4 ⊢ ((℩x(φ ∧ ψ)) ∈ V → ([̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣((φ ∧ ψ) → φ) ↔ ([̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣(φ ∧ ψ) → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣φ)))
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣((φ ∧ ψ) → φ) ↔ ([̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣(φ ∧ ψ) → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣φ))
8	5, 7	mpbi 199	. 2 ⊢ ([̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣(φ ∧ ψ) → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣φ)
9	1, 8	syl 15	1 ⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) → [̣(℩x(φ ∧ ψ)) / x]̣φ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710  ∃!weu 2204  Vcvv 2859  [̣wsbc 3046  ℩cio 4337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-iota 4339

This theorem is referenced by: (None)