Theorem leltfintr 4458

Description: Transitivity law for finite less than and less than or equal. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leltfintr	⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ ≤fin ∧ ⟪B, C⟫ ∈ <fin ) → ⟪A, C⟫ ∈ <fin ))

Proof of Theorem leltfintr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opklefing 4448	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ ≤fin ↔ ∃x ∈ Nn B = (A +c x)))
2	1	3adant3 975	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ ≤fin ↔ ∃x ∈ Nn B = (A +c x)))
3		addcnnul 4453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A +c x) ≠ ∅ → (A ≠ ∅ ∧ x ≠ ∅))
4	3	simpld 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A +c x) ≠ ∅ → A ≠ ∅)
5	4	a1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → ((A +c x) ≠ ∅ → A ≠ ∅))
6		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn ) → (x +c y) ∈ Nn )
7	6	3adant1 973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn ) → (x +c y) ∈ Nn )
8		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A +c x) +c y) = (A +c (x +c y))
9		addceq1 4383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A +c x) +c y) = (A +c (x +c y)) → (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c)
11	10	a1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn ) → (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c))
12		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = (x +c y) → (A +c z) = (A +c (x +c y)))
13		addceq1 4383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A +c z) = (A +c (x +c y)) → ((A +c z) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c))
14	12, 13	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = (x +c y) → ((A +c z) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c))
15	14	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = (x +c y) → ((((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c z) +c 1c) ↔ (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c)))
16	15	rspcev 2955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x +c y) ∈ Nn ∧ (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c (x +c y)) +c 1c)) → ∃z ∈ Nn (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c z) +c 1c))
17	7, 11, 16	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn ) → ∃z ∈ Nn (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c z) +c 1c))
18		eqeq1 2359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (C = (((A +c x) +c y) +c 1c) → (C = ((A +c z) +c 1c) ↔ (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c z) +c 1c)))
19	18	rexbidv 2635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (C = (((A +c x) +c y) +c 1c) → (∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c) ↔ ∃z ∈ Nn (((A +c x) +c y) +c 1c) = ((A +c z) +c 1c)))
20	17, 19	syl5ibrcom 213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn ) → (C = (((A +c x) +c y) +c 1c) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
21	20	3expa 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ) ∧ y ∈ Nn ) → (C = (((A +c x) +c y) +c 1c) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
22	21	adantllr 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) ∧ y ∈ Nn ) → (C = (((A +c x) +c y) +c 1c) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
23	22	rexlimdva 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (∃y ∈ Nn C = (((A +c x) +c y) +c 1c) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
24	5, 23	anim12d 546	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (((A +c x) ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = (((A +c x) +c y) +c 1c)) → (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
25		addcexg 4393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ) → (A +c x) ∈ V)
26	25	adantlr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (A +c x) ∈ V)
27		simplr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → C ∈ Nn )
28		opkltfing 4449	. . . . . . . 8 ⊢ (((A +c x) ∈ V ∧ C ∈ Nn ) → (⟪(A +c x), C⟫ ∈ <fin ↔ ((A +c x) ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = (((A +c x) +c y) +c 1c))))
29	26, 27, 28	syl2anc 642	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (⟪(A +c x), C⟫ ∈ <fin ↔ ((A +c x) ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = (((A +c x) +c y) +c 1c))))
30		opkltfing 4449	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪A, C⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
31	30	adantr 451	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (⟪A, C⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
32	24, 29, 31	3imtr4d 259	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (⟪(A +c x), C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin ))
33		opkeq1 4059	. . . . . . . 8 ⊢ (B = (A +c x) → ⟪B, C⟫ = ⟪(A +c x), C⟫)
34	33	eleq1d 2419	. . . . . . 7 ⊢ (B = (A +c x) → (⟪B, C⟫ ∈ <fin ↔ ⟪(A +c x), C⟫ ∈ <fin ))
35	34	imbi1d 308	. . . . . 6 ⊢ (B = (A +c x) → ((⟪B, C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin ) ↔ (⟪(A +c x), C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin )))
36	32, 35	syl5ibrcom 213	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ x ∈ Nn ) → (B = (A +c x) → (⟪B, C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin )))
37	36	rexlimdva 2738	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (∃x ∈ Nn B = (A +c x) → (⟪B, C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin )))
38	37	3adant2 974	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (∃x ∈ Nn B = (A +c x) → (⟪B, C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin )))
39	2, 38	sylbid 206	. 2 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ ≤fin → (⟪B, C⟫ ∈ <fin → ⟪A, C⟫ ∈ <fin )))
40	39	imp3a 420	1 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ ≤fin ∧ ⟪B, C⟫ ∈ <fin ) → ⟪A, C⟫ ∈ <fin ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859  ∅c0 3550  ⟪copk 4057  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   ≤_fin clefin 4432   <_fin cltfin 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-lefin 4440  df-ltfin 4441

This theorem is referenced by:  lenltfin  4469  vfinncvntnn  4548