Theorem ltfinasym 4460

Description: Asymmetry law for finite less than. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltfinasym	⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ <fin → ¬ ⟪B, A⟫ ∈ <fin ))

Proof of Theorem ltfinasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltfinirr 4457	. . . 4 ⊢ (A ∈ Nn → ¬ ⟪A, A⟫ ∈ <fin )
2	1	ad2antrr 706	. . 3 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) ∧ ⟪A, B⟫ ∈ <fin ) → ¬ ⟪A, A⟫ ∈ <fin )
3		ltfintr 4459	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ A ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ <fin ∧ ⟪B, A⟫ ∈ <fin ) → ⟪A, A⟫ ∈ <fin ))
4	3	3anidm13 1240	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ <fin ∧ ⟪B, A⟫ ∈ <fin ) → ⟪A, A⟫ ∈ <fin ))
5	4	expdimp 426	. . 3 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) ∧ ⟪A, B⟫ ∈ <fin ) → (⟪B, A⟫ ∈ <fin → ⟪A, A⟫ ∈ <fin ))
6	2, 5	mtod 168	. 2 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) ∧ ⟪A, B⟫ ∈ <fin ) → ¬ ⟪B, A⟫ ∈ <fin )
7	6	ex 423	1 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ <fin → ¬ ⟪B, A⟫ ∈ <fin ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710  ⟪copk 4057   Nn cnnc 4373   <_fin cltfin 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441

This theorem is referenced by:  tfinltfin  4501