Theorem ltfintr 4459

Description: Transitivity law for finite less than. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltfintr	⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ <fin ∧ ⟪B, C⟫ ∈ <fin ) → ⟪A, C⟫ ∈ <fin ))

Proof of Theorem ltfintr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 797	. . 3 ⊢ (((A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c)) ∧ (B ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c))) ↔ ((A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅) ∧ (∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c) ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c))))
2		simpl 443	. . . . 5 ⊢ ((A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅) → A ≠ ∅)
3	2	a1i 10	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅) → A ≠ ∅))
4		reeanv 2778	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ Nn ∃y ∈ Nn (B = ((A +c x) +c 1c) ∧ C = ((B +c y) +c 1c)) ↔ (∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c) ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c)))
5		addccom 4406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1c +c y) = (y +c 1c)
6		peano2 4403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ Nn → (y +c 1c) ∈ Nn )
7	5, 6	syl5eqel 2437	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ Nn → (1c +c y) ∈ Nn )
8		nncaddccl 4419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ (1c +c y) ∈ Nn ) → (x +c (1c +c y)) ∈ Nn )
9	7, 8	sylan2 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn ) → (x +c (1c +c y)) ∈ Nn )
10	9	adantl 452	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ (x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn )) → (x +c (1c +c y)) ∈ Nn )
11		addceq1 4383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B = ((A +c x) +c 1c) → (B +c y) = (((A +c x) +c 1c) +c y))
12		addceq1 4383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B +c y) = (((A +c x) +c 1c) +c y) → ((B +c y) +c 1c) = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c))
13	11, 12	syl 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (B = ((A +c x) +c 1c) → ((B +c y) +c 1c) = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c))
14	13	eqeq2d 2364	. . . . . . . 8 ⊢ (B = ((A +c x) +c 1c) → (C = ((B +c y) +c 1c) ↔ C = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c)))
15	14	biimpa 470	. . . . . . 7 ⊢ ((B = ((A +c x) +c 1c) ∧ C = ((B +c y) +c 1c)) → C = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c))
16		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (x +c (1c +c y)) → (A +c z) = (A +c (x +c (1c +c y))))
17		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A +c x) +c 1c) +c y) = ((A +c x) +c (1c +c y))
18		addcass 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A +c x) +c (1c +c y)) = (A +c (x +c (1c +c y)))
19	17, 18	eqtri 2373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A +c x) +c 1c) +c y) = (A +c (x +c (1c +c y)))
20	16, 19	syl6eqr 2403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = (x +c (1c +c y)) → (A +c z) = (((A +c x) +c 1c) +c y))
21		addceq1 4383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A +c z) = (((A +c x) +c 1c) +c y) → ((A +c z) +c 1c) = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c))
22	20, 21	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = (x +c (1c +c y)) → ((A +c z) +c 1c) = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c))
23	22	eqeq2d 2364	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = (x +c (1c +c y)) → (C = ((A +c z) +c 1c) ↔ C = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c)))
24	23	rspcev 2955	. . . . . . . 8 ⊢ (((x +c (1c +c y)) ∈ Nn ∧ C = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c)) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))
25	24	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ ((x +c (1c +c y)) ∈ Nn → (C = ((((A +c x) +c 1c) +c y) +c 1c) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
26	10, 15, 25	syl2im 34	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) ∧ (x ∈ Nn ∧ y ∈ Nn )) → ((B = ((A +c x) +c 1c) ∧ C = ((B +c y) +c 1c)) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
27	26	rexlimdvva 2745	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (∃x ∈ Nn ∃y ∈ Nn (B = ((A +c x) +c 1c) ∧ C = ((B +c y) +c 1c)) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
28	4, 27	syl5bir 209	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c) ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c)) → ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c)))
29	3, 28	anim12d 546	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (((A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅) ∧ (∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c) ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c))) → (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
30	1, 29	syl5bi 208	. 2 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (((A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c)) ∧ (B ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c))) → (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
31		opkltfing 4449	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c))))
32	31	3adant3 975	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪A, B⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c))))
33		opkltfing 4449	. . . 4 ⊢ ((B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪B, C⟫ ∈ <fin ↔ (B ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c))))
34	33	3adant1 973	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪B, C⟫ ∈ <fin ↔ (B ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c))))
35	32, 34	anbi12d 691	. 2 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ <fin ∧ ⟪B, C⟫ ∈ <fin ) ↔ ((A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn B = ((A +c x) +c 1c)) ∧ (B ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn C = ((B +c y) +c 1c)))))
36		opkltfing 4449	. . 3 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪A, C⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
37	36	3adant2 974	. 2 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → (⟪A, C⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃z ∈ Nn C = ((A +c z) +c 1c))))
38	30, 35, 37	3imtr4d 259	1 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ B ∈ Nn ∧ C ∈ Nn ) → ((⟪A, B⟫ ∈ <fin ∧ ⟪B, C⟫ ∈ <fin ) → ⟪A, C⟫ ∈ <fin ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  ⟪copk 4057  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   <_fin cltfin 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441

This theorem is referenced by:  ltfinasym  4460  ltfintri  4466