New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  mucnc GIF version

Theorem mucnc 6131
 Description: Cardinal multiplication in terms of cardinality. Theorem XI.2.27 of [Rosser] p. 378. (Contributed by SF, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mucnc.1 A V
mucnc.2 B V
Assertion
Ref Expression
mucnc ( Nc A ·c Nc B) = Nc (A × B)

Proof of Theorem mucnc
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mucnc.1 . . . 4 A V
21ncelncsi 6121 . . 3 Nc A NC
3 mucnc.2 . . . 4 B V
43ncelncsi 6121 . . 3 Nc B NC
5 ovmuc 6130 . . 3 (( Nc A NC Nc B NC ) → ( Nc A ·c Nc B) = {x y Nc Az Nc Bx ≈ (y × z)})
62, 4, 5mp2an 653 . 2 ( Nc A ·c Nc B) = {x y Nc Az Nc Bx ≈ (y × z)}
7 df-nc 6101 . . 3 Nc (A × B) = [(A × B)] ≈
8 dfec2 5948 . . 3 [(A × B)] ≈ = {x (A × B) ≈ x}
9 elnc 6125 . . . . . . . 8 (y Nc AyA)
10 elnc 6125 . . . . . . . 8 (z Nc BzB)
119, 10anbi12i 678 . . . . . . 7 ((y Nc A z Nc B) ↔ (yA zB))
12 ensym 6037 . . . . . . 7 (x ≈ (y × z) ↔ (y × z) ≈ x)
1311, 12anbi12i 678 . . . . . 6 (((y Nc A z Nc B) x ≈ (y × z)) ↔ ((yA zB) (y × z) ≈ x))
14132exbii 1583 . . . . 5 (yz((y Nc A z Nc B) x ≈ (y × z)) ↔ yz((yA zB) (y × z) ≈ x))
15 r2ex 2652 . . . . 5 (y Nc Az Nc Bx ≈ (y × z) ↔ yz((y Nc A z Nc B) x ≈ (y × z)))
161enrflx 6035 . . . . . . 7 AA
173enrflx 6035 . . . . . . 7 BB
18 breq1 4642 . . . . . . . . . 10 (y = A → (yAAA))
19 breq1 4642 . . . . . . . . . 10 (z = B → (zBBB))
2018, 19bi2anan9 843 . . . . . . . . 9 ((y = A z = B) → ((yA zB) ↔ (AA BB)))
21 xpeq12 4803 . . . . . . . . . 10 ((y = A z = B) → (y × z) = (A × B))
2221breq1d 4649 . . . . . . . . 9 ((y = A z = B) → ((y × z) ≈ x ↔ (A × B) ≈ x))
2320, 22anbi12d 691 . . . . . . . 8 ((y = A z = B) → (((yA zB) (y × z) ≈ x) ↔ ((AA BB) (A × B) ≈ x)))
241, 3, 23spc2ev 2947 . . . . . . 7 (((AA BB) (A × B) ≈ x) → yz((yA zB) (y × z) ≈ x))
2516, 17, 24mpanl12 663 . . . . . 6 ((A × B) ≈ xyz((yA zB) (y × z) ≈ x))
26 xpen 6055 . . . . . . . . 9 ((yA zB) → (y × z) ≈ (A × B))
27 ensym 6037 . . . . . . . . 9 ((y × z) ≈ (A × B) ↔ (A × B) ≈ (y × z))
2826, 27sylib 188 . . . . . . . 8 ((yA zB) → (A × B) ≈ (y × z))
29 entr 6038 . . . . . . . 8 (((A × B) ≈ (y × z) (y × z) ≈ x) → (A × B) ≈ x)
3028, 29sylan 457 . . . . . . 7 (((yA zB) (y × z) ≈ x) → (A × B) ≈ x)
3130exlimivv 1635 . . . . . 6 (yz((yA zB) (y × z) ≈ x) → (A × B) ≈ x)
3225, 31impbii 180 . . . . 5 ((A × B) ≈ xyz((yA zB) (y × z) ≈ x))
3314, 15, 323bitr4ri 269 . . . 4 ((A × B) ≈ xy Nc Az Nc Bx ≈ (y × z))
3433abbii 2465 . . 3 {x (A × B) ≈ x} = {x y Nc Az Nc Bx ≈ (y × z)}
357, 8, 343eqtrri 2378 . 2 {x y Nc Az Nc Bx ≈ (y × z)} = Nc (A × B)
366, 35eqtri 2373 1 ( Nc A ·c Nc B) = Nc (A × B)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   class class class wbr 4639   × cxp 4770  (class class class)co 5525  [cec 5945   ≈ cen 6028   NC cncs 6088   Nc cnc 6091   ·c cmuc 6092 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-cross 5764  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-muc 6102 This theorem is referenced by:  muccl  6132  muccom  6134  mucass  6135  muc0  6142  mucid1  6143  addcdi  6250  muc0or  6252
 Copyright terms: Public domain W3C validator